上海理工大学学报  2017, Vol. 39 Issue (4): 334-339   PDF    
基于耗散极值原理的渐进结构成长方法
宋宇, 丁晓红     
上海理工大学 机械工程学院, 上海 200093
摘要: 目前的传热通道设计普遍使用的是传统密度法,密度法有一个不被大家重视的问题就是伪密度问题.因为使用伪密度,每一个单元导热系数都不是真实存在的,当将这些单元筛选后,和真实值存在差异.针对此问题提出了基于火积耗散极值原理的渐进结构优化方法,通过比较分析,采用以生长为主退化为辅的策略,整体火积耗散在3个不同算例下比密度法筛选后的结果分别小了14%,24%,9%,即先生长后退化的双向渐进结构优化方法在真实情况下是一种比传统密度法更优秀的优化方法.
关键词: 耗散极值     传热通道     渐进结构法     密度法    
Evolutionary Structural Optimization Method Based on the Principle of Extremum Entranspy Dissipation
SONG Yu, DING Xiaohong     
School of Mechanical Engineering, University of Shanghaifor Science and Technology, Shanghai 200093, China
Abstract: The variable density method has been mostly adopted in designing cooling channels.However, it still has some major drawbacks.The thermal conductivity of the material, in physical truth, should be a certain value.However, based on the variable density method, this value can vary between the upper and lower bounds (high and low thermal conductivity), hence needs to be manually adjusted.A bi-directional evolutionary structural optimization (BESO) method based on the principle of extremum entranspy dissipation was proposed to enhance the heat transfer efficiency.Three numerical examples were studied and the simulation results reveal that by the extremum entranspy dissipation method, it shows the overall entranspy dissipation is 14%, 24%, and 9% less then that by the conventional variable density method.
Key words: entranspy dissipation     cooling channel     evolutionary structural optimization     variable density method    
1 研究背景及意义

随着电子元器件集成度的提高, 工作时产生的热量急剧增加.小空间大热流密度会使电子元件发生引线疲劳、芯片断裂、键合点腐蚀等破坏, 将严重影响使用寿命.将高导热材料布置在高热流密度的电子产品内部, 将热量快速导出是解决这类问题的有效途径[1].

目前的传热通道设计普遍使用的是传统密度法, 密度法有一个不被大家重视的问题就是伪密度问题.因为, 使用伪密度, 每一个单元的导热系数都不是真实存在的, 当将这些单元筛选后, 同真实值存在差异.

伪密度筛选过滤后, 与真实值存在差异的原因如图 1所示, 图中的数值是单元导热系数的伪密度, 截图只是整个分析域中的一小部分.数值0对应低导热材料的导热系数值, 数值1对应高导热材料的导热系数值, 数值在0~1之间代表导热系数的伪密度, 即导热系数在低导热和高导热之间, 按伪密度值线性分布.


图 1 单元伪密度 Fig. 1 Pseudo density

由于是采用密度法, 使伪密度的值逐渐趋于0和1两个极端, 为了保证密度矩阵不奇异, 所以, 并不存在0值.若将其筛选过滤, 即将趋近于0的值变为0, 将趋近1的值变为1,结果将变差.因为, 单元数量多, 虽然每个单元都接近于0, 但是, 当大量接近0的伪密度单元都变为0时, 差异就变大了.

可以用一个具体例子来说明, 经典的一端热沉均布热源传热结构如图 2所示, 设计空间是边长为0.1 m的正方形.内部设计域Ωd内存在均匀生热率Q1, Q1=6×104 W/m3.设计区域四周边界为绝热.在下边界存在Dirichlet边界ΓT, 边界温度T0=0 ℃, 边界长度L1=0.01 m.低导热材料的导热系数为1 W/(m·K), 高导热材料的导热系数为400 W/(m·K), 体积约束为30%.


图 2 一端热沉均布热源 Fig. 2 Uniformheat source with single heat sink

利用Ansys编程分析.因为,密度法已经对数据进行了惩罚, 密度法结果数据基本都分布在0.7以上和0.3以下, 所以, 这里将大于0.7的值都过滤为1, 其他值过滤为0.如图 3所示, 未过滤前, 最高温度为3.42 ℃, 算术平均温度为2.37 ℃.过滤后,最高温度为7.60 ℃, 算术平均温度为3.22 ℃.


图 3 一端热沉密度法分析结果 Fig. 3 Topology configuration and temperature distribution using density method with single heat sink

筛选过滤后, 最高温度上升了122%, 算术平均温度上升了36%.由此可以看出,密度法中的伪密度是一个不可忽视的问题.

2 渐进结构成长法 2.1 概述

根据过增元所提出的耗散理论, 热量在介质中传递的过程是不可逆的, 热流传递过程的热耗散就是耗散[2].传热过程中的耗散Φ可以表示为[3]

(1)

式中: ∇T为温度梯度; k为导热系数; q表示热流密度矢量.

传热计算中单元体的耗散可以表示为[4-7]

(2)

式中:m, n表示单元节点坐标; km, n为单元的材料导热系数.

对于某一固定的传热过程, 耗散值最小时, 传热过程热量损失最小, 传热效率最高, 这就是耗散极值原理[8].

过增元提出的耗散极值理论可以简单理解为:在设计区域、热源及边界条件都相同时, 整体的耗散越小, 热流的损失越小, 传热效率越高.

在设计区域、热源及边界条件都相同时, 只要找到使整体的耗散最小的结构, 也就找到了传热效率最高的结构.因此, 以下数学模型都以整体的耗散值最小为目标.为了达到这个目标值, 本文采用了双向渐进结构法[9-10].双向渐进结构法有退化和生长2个方向, 因此, 也就有以退化为主和生长为主2种方式.本文将依次介绍2种方法.并针对3种不同的算例, 分别用2种方法进行分析.

通过对计算结果进行比较, 分析以整体的耗散值最小为目标时2种方法的优劣, 也就是生长机制和退化机制的优劣.最终确定渐进结构法的成长机制, 并与密度法相比较, 得出结论.

2.2 退化为主的双向渐进结构法

退化为主的渐进结构成长法数学模型可以描述为

(3)

式中:kp为高导热材料的异热系数; k0为低导热材料的异热系数; J耗散; Q为设计区域内的生热率; Ωs为设计区域; ΓD为设计区域的热沉; ΓN为设计区域的非热沉边界; Ω为设计区域面积; Φ为材料体积分数.

这个数学模型所表达的意思是:在满足导热微分方程和各种边界条件下, 基于耗散极值原理,不断地将高导热材料中耗散最小的单元更替为低导热材料, 最终寻找到整体耗散变化最小的结构.因为, 每次更替的都是对整体传热贡献最小的单元, 所以, 整体耗散升高最小, 即整体的耗散值变化最小.这就保证了更替这些单元相对于更替同样多其他单元的情况下整体的耗散值是最小的.

先退化后生长的双向渐进结构优化法优化流程如图 4所示.


图 4 优化流程(1) Fig. 4 Optimization process (1)

a.按照要求建立几何模型, 将设计区域内所有材料赋予高导热材料, 并设定热边界条件.

b.在Ansys中对全局进行热分析, 计算出每个单元的节点温度, 获得温度云图, 将温度数据导入Matlab中.

c.在Matlab中, 根据节点温度计算单元的温度梯度, 得到每个单元的节点温度梯度, 获得温度梯度云图.

d.计算每个单元的耗散.

e.按照设定的退化率, 将耗散最小的单元更替为低导热材料.

f.对全局进行热分析, 重复b—e的步骤, 直到计域中低导热结构的体积达到生长起始条件.

g.开启生长模块, 此时, 每次生长迭代之后都进行一次生长迭代, 所谓的生长就是从单元中寻找耗散最大的单元更替为低导热材料.

h.按照整体耗散值的变化率和体积分数判定是否收敛, 如果整体耗散值基本不变, 根据耗散极值原理, 说明结构的传热性能基本不变, 则循环结束.

2.3 生长为主的双向渐进结构法

数学模型可以描述为

(4)

这个数学模型所表达的意思是:在满足导热微分方程和各种边界条件下, 基于耗散极值原理不断地改变单元的导热系数, 最终寻找到整体耗散最小的结构.

优化流程如图 5所示.


图 5 优化流程(2) Fig. 5 Optimization Process (2)

a.按照要求建立几何模型, 将设计区域内所有材料赋予低导热材料, 并设定热边界条件.

b.在Ansys中,对全局进行热分析, 计算出每个单元的节点温度, 获得温度云图,将温度数据导入Matlab中.

c.在Matlab中,根据节点温度计算单元的温度梯度, 得到每个单元的节点温度梯度, 获得温度梯度云图.

d.计算每个单元的耗散.

e.按照设定的进化率, 将耗散最大的单元更替为高导热材料.

f.对全局进行热分析, 重复步骤b—e, 直到计域中高导热结构的体积达到退化起始条件.

g.开启退化模块, 此时,每次生长迭代之后都进行一次退化迭代, 所谓的退化就是寻找结构体四周的边界单元, 从单元中寻找耗散最小的单元更替为低导热材料.

h.按照整体耗散值的变化率和体积分数判定是否收敛, 如果整体耗散值基本不变, 根据过增元的耗散极值原理, 说明结构的传热性能基本不变, 则循环结束.

3 数值算例

图 2, 6, 7这3个算例, 用不同的方法进行分析.


图 6 两端对称热沉均布热源 Fig. 6 Uniformheat source with two symmetric heat sinks

图 7 四角热沉均布热源 Fig. 7 Uniform heat source with fourcorner heat sinks

用密度法对图 6图 7进行优化, 结果如图 8图 9所示.


图 8 两端对称热沉密度法分析结果 Fig. 8 Topology configuration and temperature distribution using the density method with two symmetric heat sinks

图 9 四角热沉密度法分析结果 Fig. 9 Topology configuration and temperature distribution using the density method with four corner heat sinks

利用以退化为主的渐进结构成长法对图 2, 6, 7进行优化, 所得结果如图 10~12所示.


图 10 一端热沉结构分析结果(1) Fig. 10 Topology configuration and temperature distribution using the degeneration dominated BESO with single heat sink (1)

图 11 两端热沉结构分析结果(1) Fig. 11 Topology configuration and temperature distribution using the degeneration dominated BESO with two symmetric heat sinks (1)

图 12 四角热沉结构分析结果(1) Fig. 12 Topology configuration and temperature distribution using the degeneration dominated BESO with four corner heat sinks (1)

利用以生长为主的渐进结构成长法对图 2, 6, 7进行优化, 所得结果如图 13~15所示.


图 13 一端热沉结构分析结果(2) Fig. 13 Topology configuration and temperature distribution using the generation dominated BESO with single heat sink (2)

图 14 两端热沉结构分析结果(2) Fig. 14 Topology configuration and temperature distribution using the generation dominated BESO with two symmetric heat sinks (2)

图 15 四角热沉结构分析结果(2) Fig. 15 Topology configuration and temperature distribution using the generation dominated BESO with four corner heat sinks (2)

按照3个算例分类, 将所有优化数据整合到表 1~3中.



表 1 一端热沉均布热源算例 Table 1 Calculation example of the uniform heatsource with single heat sink


表 2 两端热沉均布热源算例 Table 2 Calculation example of the uniform heat source with two symmetric heat sinks

表 3 四角热沉均布热源算例 Table 3 Calculation example of the uniform heat sourcewith four corner heat sinks

N代表迭代次数, T1代表最高温度, T2代表平均温度, J代表整体耗散.

方法1代表传统密度法,方法2代表经过过滤处理后的密度法, 方法3代表先退化双向渐进结构优化法, 方法4代表先生长双向渐进结构优化法.

综合3个表中的数据来看, 密度法迭代次数最高, 是其他两种方法的2~7倍,可以看出,密度法迭代计算效率最低.

生长为主的双向渐进结构优化法比退化为主的双向渐进结构优化法, 在迭代次数上低19%~57%, 在整体耗散上低39%~50%,由此发现, 在基于耗散极值原理优化时, 其成长机制在寻优能力上优于退化机制.

4 结论

通过对不同策略的渐进结构优化法进行研究, 发现在基于耗散极值原理优化时, 成长机制在寻优能力上优于退化机制.通过3个算例结果进行比较分析, 整体耗散在3个不同算例下比密度法筛选后的结果分别小了14%, 24%, 9%, 在真实情况下, 用以生长为主的双向渐进结构优化法进行优化优化设计, 其结果的传热能力比传统密度法更优秀.

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