1 仿射结构和Novikov结构

幂零李代数^[1-2]和可解李代数^[1-3]是李理论中两类重要的李代数, 但因其结构的复杂性, 还有很多问题有待解决, 受到许多学者的关注.Novikov代数是一类应用广泛的代数, 文献[4]提出了具有Novikov结构的李代数的概念, 并用来研究幂零李代数和可解李代数的结构, 同时指出, 并不是所有的李代数都能带有Novikov结构.文献[5]证明了任意特征为0的域上具有Novikov结构的有限维李代数是可解的.因此, Novikov结构在讨论李代数的可解性上具有重要意义.文献[6]探讨了k-步可解李代数的Novikov结构.文献[7]给出了如何利用2-上循环和李代数表示构造扩张李代数的方法.本文将在特征为零的域上给出一种赋予扩张李代数Novikov结构的方法, 给出了扩张李代数具有Novikov结构的充要条件.

定义1^{[1-2, 8]}    设g是域k上的向量空间, 在g中定义了一个李括号积(记为[·, ·]), 对∀x, y∈g, 有[x, y]∈g, 且以下3个条件成立:

a.李括号积是双线性的;

b. [x, x]=0, ∀x∈g;

c. [x, [y, z]]+[y, [z, x]]+[z, [x, y]]=o, ∀x, y, z∈g(Jacobi等式).

称g为域k上的一个李代数.

由条件b易得, 当Char k≠2时, 有[x, y]=-[y, x], ∀x, y∈g.

定义2^{[5, 9]}    设k是任意域, 代数A的乘积(x, y)x·y, 若满足等式

(1)

称A为左对称代数.

若此乘法还满足

(2)

称A为Novikov代数.

定义3^{[5, 9]}    设k是任意域, 若李代数g上定义了左对称乘积(x, y)x·y, 且满足

(3)

则称g具有仿射结构.

若该乘积还满足式(2), 则称g具有Novikov结构.

定义4^{[5, 9]}    一个李代数g的导出列:g⁽¹⁾=g, g⁽ⁱ⁺¹⁾=[g⁽ⁱ⁾, g⁽ⁱ⁾], i∈ , 若存在整数n, 有g⁽ⁿ⁺¹⁾=o, 则称g是n步可解的; 一个李代数g的下中心列:g¹=g, gⁱ⁺¹=[g, gⁱ], i∈, 若存在整数n, 有gⁿ⁺¹=o, 则称g是n步幂零的.

性质1    1步可解李代数、1步幂零李代数是阿贝尔李代数.

证明    由g⁽²⁾=g²=[g, g]=0, 结论显然成立.

性质2    3步幂零李代数是2步可解步李代数.

证明    设李代数g是3步幂零的, 则g⁽⁴⁾=[g, [g, [g, g]]]=0.由Jacobi等式, ∀x, y, z, w∈g,

故g⁽³⁾=[g⁽²⁾, g⁽²⁾]=0, g是2步可解李代数.

2 扩张法构造Novikov结构

设k是特征为零的域, a是一个阿贝尔李代数, b是任意李代数.因为, a是阿贝尔李代数, 存在自然的b-模^[10]结构, 记为

且对所有的x, y∈b, 有

(4)

记Ω∈Z²(b, a)表示2-上循环, 它是斜对称双线性映射Ω:b×b→a, 且满足

(5)

设g是b经由a的扩张, 即存在一个短正合列.此时ι(a)a, π(b)b, 可记g=a×b.在g上定义李括号:

(6)

则g=a×b构成一个李代数, 称g为李代数b经由阿贝尔李代数a扩张的李代数.

现在g上构造Novikov结构.

假设g=(a, b, φ, Ω)是如上所定义的扩张李代数, 且李代数a有仿射结构(a, b)a·b, ∀a, b∈a, [a, b]=a·b-b·a; b有仿射结构(x, y)x·y, ∀x, y∈b, [x, y]=x·y-y·x.再设ω:b×b→a是一个双线性映射, φ₁, φ₂:b→End(a)是李代数表示^[11].定义一个双线性乘积g×g→g, ∀a, b∈a, x, y∈b,

(7)

引理1    阿贝尔李代数a若有仿射结构, 则a具有交换性和结合性, 即

证明    因为a是阿贝尔的, 则[a, b]=a·b-b·a=0, 得a·b=b·a.又因a是左对称的, 有

即a·(b·c)=b·(a·c), 可得

引理2    若李代数b是阿贝尔的, 则g=(a, b, φ, Ω)是两步可解李代数.

证明    若李代数b是阿贝尔的, 由[(a, x), (b, y)]:=(φ(x)b-φ(y)a+Ω(x, y), [x, y]), 可知

定理1  式(7)定义了李代数g上的一个仿射结构^[12]当且仅当满足下面的条件:

a. ω(x, y)-ω(y, x)=Ω(x, y);

b. φ₂(x)-φ₁(x)=φ(x);

c. φ₂(x)ω(y, z)-φ₂(y)ω(x, z)-φ₁(z)·Ω(x, y)=ω(y, x·z)-ω(x, y·z)+ω([x, y], z);

d. a·ω(y, z)+φ₁(y·z)a=φ₂(y)φ₁(z)a-φ₁(z)φ(y)a;

e. a·(φ₁(z)b)=b·(φ₁(z)a);

f. φ₂(y)(a·c)-a·(φ₂(y)c)=(φ(y)a)·c;

g. Ω(x, y)·c=0.

∀a, b, c∈a, x, y, z∈b.

证明    ∀u=(a, x), v=(b, y), w=(c, z)∈g, 需证乘积°满足式(3)和式(1).由式(7)及a, b的仿射性得

由式(6), [u, v]=u°v-v°u当且仅当

令a=b=0, 可得ω(x, y)-ω(y, x)=Ω(x, y), 由此再考虑a=0的情况, 得φ₂(x)-φ₁(x)=φ(x).又

经计算,

又

式(1)成立当且仅当以上2个等式相等.令a=b=c=0, 可得条件c.令a=b=0, 由条件c可得条件g; 令b=c=0, 由条件c可得条件d; 令z=x=b=0, 可得条件f; 令c=x=y=0, 可得条件e.反之, 若条件a—g成立, 则有式(1)和(3)成立, 得证.

定理2    式(7)定义了李代数g上的一个Novikov结构当且仅当乘积°满足条件a—g, 且满足条件:

h. φ₁(z)ω(x, y)-φ₁(y)ω(x, z)=ω(x·z, y)-ω(x·y, z);

i. ω(x, y)·c+φ₂(x·y)c=φ₁(y)φ₂(x)c;

j.[φ₁(x), φ₁(y)]=0;

k. φ₂(x)b·c)=φ₂(x)c)·b;

l. φ₁(z)(a·b)=φ₁(z)a)·b;

m. (x·y)·z=(x·z)·y.

证明    ∀u=(a, x), v=(b, y), w=(c, z)∈g, 需证乘积°满足式(2).

若(u°v)°w=(u°w)°v, 由u, v, w的任意性, 比较上两式的右边, 令a=b=c=0, 得条件h和m.令a=b=0时, 结合条件h, 可得条件i; 令b=c=0时, 结合条件h, 可得φ₁(z)φ₁(y)a=φ₁(y)φ₁(z)a, 由a, y, z的任意性, 可得条件j.令y=z=a=0, 可得条件k, 最后, 令x=y=c=0, 可得式(l).反之, 若条件a—m成立, 则g满足式(1)~(3), 具有Novikov结构.得证.

推论1    设g=(a, b, φ, Ω), 若b是阿贝尔的, 且a, b上的左对称乘积是平凡的, 则式(7)在李代数g上定义一个仿射结构当且仅当满足下面的条件:

a. ω(x, y)-ω(y, x)=Ω(x, y);

b. φ₂(x)-φ₁(x)=φ(x);

c. φ₂(x)ω(y, z)-φ₂(y)ω(x, z)=φ₁(z)·Ω(x, y);

d. φ₁(x), φ₂(y)=φ₁(x)φ₁(y).

进一步, 若式(7)在g上定义了一个Novikov结构, 还需满足条件:

e. φ₁(z)ω(x, y)=φ₁(y)ω(x, z);

f. φ₁(x)φ₂(y)=0;

g. φ₁(x), φ₁(y)=0.

证明    因为, a, b上的左对称乘积是平凡的, 即a·b=x·y=0, ∀a, b∈a, x, y∈b.由定理1和定理2, 结论显然成立.

3 实例

定理1和定理2给出了扩张李代数g=(a, b, φ, Ω)具有Novikov结构的充要条件, 即找寻一系列方程的解, 实际中这样的解并不容易求出, 因此, 此方法在实际中只适用于一些特殊的李代数.现仅考虑一种低维的情况.

例1    设g为五维李代数, 其基为(a, b, c, x, y), 非零李括号为

不难验算g是一个3步幂零李代数, 因此, g是2步可解的.现分3步在g上构造一个Novikov结构.

a.将g看成一个扩张李代数, 取a=span{a, b, c}, b=span{x, y}, a, b为阿贝尔李代数, 令

则g=a×b=(a, b, φ, Ω)是b经由a扩张的李代数.

b.寻找满足推论1中等式a—g的解φ₁, φ₂, ω.可假设a, b有一个平凡的左对称乘积, 只需简单验算, 可取

c.根据式(7)定义乘积°.因为, g=a×b, a(a, o), b(o, b), 根据式(7), 可取非零乘积

即可, 这样g=a×b=(a, b, φ, Ω)就具有Novikov结构.