幂零李代数[1-2]和可解李代数[1-3]是李理论中两类重要的李代数, 但因其结构的复杂性, 还有很多问题有待解决, 受到许多学者的关注.Novikov代数是一类应用广泛的代数, 文献[4]提出了具有Novikov结构的李代数的概念, 并用来研究幂零李代数和可解李代数的结构, 同时指出, 并不是所有的李代数都能带有Novikov结构.文献[5]证明了任意特征为0的域上具有Novikov结构的有限维李代数是可解的.因此, Novikov结构在讨论李代数的可解性上具有重要意义.文献[6]探讨了k-步可解李代数的Novikov结构.文献[7]给出了如何利用2-上循环和李代数表示构造扩张李代数的方法.本文将在特征为零的域上给出一种赋予扩张李代数Novikov结构的方法, 给出了扩张李代数具有Novikov结构的充要条件.
定义1[1-2, 8] 设g是域k上的向量空间, 在g中定义了一个李括号积(记为[·, ·]), 对∀x, y∈g, 有[x, y]∈g, 且以下3个条件成立:
a.李括号积是双线性的;
b. [x, x]=0, ∀x∈g;
c. [x, [y, z]]+[y, [z, x]]+[z, [x, y]]=o, ∀x, y, z∈g(Jacobi等式).
称g为域k上的一个李代数.
由条件b易得, 当Char k≠2时, 有[x, y]=-[y, x], ∀x, y∈g.
定义2[5, 9] 设k是任意域, 代数A的乘积(x, y)
(1) |
称A为左对称代数.
若此乘法还满足
(2) |
称A为Novikov代数.
定义3[5, 9] 设k是任意域, 若李代数g上定义了左对称乘积(x, y)
(3) |
则称g具有仿射结构.
若该乘积还满足式(2), 则称g具有Novikov结构.
定义4[5, 9] 一个李代数g的导出列:g(1)=g, g(i+1)=[g(i), g(i)], i∈
性质1 1步可解李代数、1步幂零李代数是阿贝尔李代数.
证明 由g(2)=g2=[g, g]=0, 结论显然成立.
性质2 3步幂零李代数是2步可解步李代数.
证明 设李代数g是3步幂零的, 则g(4)=[g, [g, [g, g]]]=0.由Jacobi等式, ∀x, y, z, w∈g,
故g(3)=[g(2), g(2)]=0, g是2步可解李代数.
2 扩张法构造Novikov结构设k是特征为零的域, a是一个阿贝尔李代数, b是任意李代数.因为, a是阿贝尔李代数, 存在自然的b-模[10]结构, 记为
且对所有的x, y∈b, 有
(4) |
记Ω∈Z2(b, a)表示2-上循环, 它是斜对称双线性映射Ω:b×b→a, 且满足
(5) |
设g是b经由a的扩张, 即存在一个短正合列
(6) |
则g=a×b构成一个李代数, 称g为李代数b经由阿贝尔李代数a扩张的李代数.
现在g上构造Novikov结构.
假设g=(a, b, φ, Ω)是如上所定义的扩张李代数, 且李代数a有仿射结构(a, b)
(7) |
引理1 阿贝尔李代数a若有仿射结构, 则a具有交换性和结合性, 即
证明 因为a是阿贝尔的, 则[a, b]=a·b-b·a=0, 得a·b=b·a.又因a是左对称的, 有
即a·(b·c)=b·(a·c), 可得
引理2 若李代数b是阿贝尔的, 则g=(a, b, φ, Ω)是两步可解李代数.
证明 若李代数b是阿贝尔的, 由[(a, x), (b, y)]:=(φ(x)b-φ(y)a+Ω(x, y), [x, y]), 可知
定理1 式(7)定义了李代数g上的一个仿射结构[12]当且仅当满足下面的条件:
a. ω(x, y)-ω(y, x)=Ω(x, y);
b. φ2(x)-φ1(x)=φ(x);
c. φ2(x)ω(y, z)-φ2(y)ω(x, z)-φ1(z)·Ω(x, y)=ω(y, x·z)-ω(x, y·z)+ω([x, y], z);
d. a·ω(y, z)+φ1(y·z)a=φ2(y)φ1(z)a-φ1(z)φ(y)a;
e. a·(φ1(z)b)=b·(φ1(z)a);
f. φ2(y)(a·c)-a·(φ2(y)c)=(φ(y)a)·c;
g. Ω(x, y)·c=0.
∀a, b, c∈a, x, y, z∈b.
证明 ∀u=(a, x), v=(b, y), w=(c, z)∈g, 需证乘积°满足式(3)和式(1).由式(7)及a, b的仿射性得
由式(6), [u, v]=u°v-v°u当且仅当
令a=b=0, 可得ω(x, y)-ω(y, x)=Ω(x, y), 由此再考虑a=0的情况, 得φ2(x)-φ1(x)=φ(x).又
经计算,
又
式(1)成立当且仅当以上2个等式相等.令a=b=c=0, 可得条件c.令a=b=0, 由条件c可得条件g; 令b=c=0, 由条件c可得条件d; 令z=x=b=0, 可得条件f; 令c=x=y=0, 可得条件e.反之, 若条件a—g成立, 则有式(1)和(3)成立, 得证.
定理2 式(7)定义了李代数g上的一个Novikov结构当且仅当乘积°满足条件a—g, 且满足条件:
h. φ1(z)ω(x, y)-φ1(y)ω(x, z)=ω(x·z, y)-ω(x·y, z);
i. ω(x, y)·c+φ2(x·y)c=φ1(y)φ2(x)c;
j.[φ1(x), φ1(y)]=0;
k. φ2(x)b·c)=φ2(x)c)·b;
l. φ1(z)(a·b)=φ1(z)a)·b;
m. (x·y)·z=(x·z)·y.
证明 ∀u=(a, x), v=(b, y), w=(c, z)∈g, 需证乘积°满足式(2).
若(u°v)°w=(u°w)°v, 由u, v, w的任意性, 比较上两式的右边, 令a=b=c=0, 得条件h和m.令a=b=0时, 结合条件h, 可得条件i; 令b=c=0时, 结合条件h, 可得φ1(z)φ1(y)a=φ1(y)φ1(z)a, 由a, y, z的任意性, 可得条件j.令y=z=a=0, 可得条件k, 最后, 令x=y=c=0, 可得式(l).反之, 若条件a—m成立, 则g满足式(1)~(3), 具有Novikov结构.得证.
推论1 设g=(a, b, φ, Ω), 若b是阿贝尔的, 且a, b上的左对称乘积是平凡的, 则式(7)在李代数g上定义一个仿射结构当且仅当满足下面的条件:
a. ω(x, y)-ω(y, x)=Ω(x, y);
b. φ2(x)-φ1(x)=φ(x);
c. φ2(x)ω(y, z)-φ2(y)ω(x, z)=φ1(z)·Ω(x, y);
d. φ1(x), φ2(y)=φ1(x)φ1(y).
进一步, 若式(7)在g上定义了一个Novikov结构, 还需满足条件:
e. φ1(z)ω(x, y)=φ1(y)ω(x, z);
f. φ1(x)φ2(y)=0;
g. φ1(x), φ1(y)=0.
证明 因为, a, b上的左对称乘积是平凡的, 即a·b=x·y=0, ∀a, b∈a, x, y∈b.由定理1和定理2, 结论显然成立.
3 实例定理1和定理2给出了扩张李代数g=(a, b, φ, Ω)具有Novikov结构的充要条件, 即找寻一系列方程的解, 实际中这样的解并不容易求出, 因此, 此方法在实际中只适用于一些特殊的李代数.现仅考虑一种低维的情况.
例1 设g为五维李代数, 其基为(a, b, c, x, y), 非零李括号为
不难验算g是一个3步幂零李代数, 因此, g是2步可解的.现分3步在g上构造一个Novikov结构.
a.将g看成一个扩张李代数, 取a=span{a, b, c}, b=span{x, y}, a, b为阿贝尔李代数, 令
则g=a×b=(a, b, φ, Ω)是b经由a扩张的李代数.
b.寻找满足推论1中等式a—g的解φ1, φ2, ω.可假设a, b有一个平凡的左对称乘积, 只需简单验算, 可取
c.根据式(7)定义乘积°.因为, g=a×b, a
即可, 这样g=a×b=(a, b, φ, Ω)就具有Novikov结构.
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