2. 河海大学 文天学院, 马鞍山 243031
2. Wentian College, Hohai University, Maanshan 243031, China
研究了Vlasov-Fokker-Planck与Navier-Stokes方程的一类极限模型[1], 在三维框架下, 方程为
(1) |
式中:n(x, t)∈
在非粘性情况下, μ=0, 在粘性情况下, μ>0.
若γ=1, μ=0, 将n+ρ看成一个变量, 则方程(1)变为经典的Euler方程.本文主要研究γ>1, μ=0的情况.
对方程(1), 给定初值
(2) |
Sideris[2]研究了二维可压流体方程的衰减奇异结构; Nishida[3]研究了一维带阻尼项的Euler方程光滑解的整体存在性; Dafermos[4]研究了耗散项能阻止波动对解的破坏; Li[5]研究了带线性退化的一般双曲系统整体光滑解的存在性; Sideris等[6]研究了高维带线性阻尼的Euler方程解的整体存在性及爆破.
利用一般双曲方程的局部光滑解存在性理论, 方程(1)的局部光滑解是存在的[7-8].双曲型方程的特点是在一定条件下, 解在有限时间内会爆破, 本文主要讨论方程(1)的有限传播速度, 并利用有限传播速度讨论解的爆破.
双曲型方程光滑解的局部存在性定理是众所周知的结论.对于一维的双曲型方程的光滑解的有限时间爆破, 特别是单个方程, 如Burgers方程, 可以利用特征线方法给出很好的描述, 这一类方法对于研究高维方程组有一定的困难[5].本文借鉴文献[6], 通过定义一个积分平均量, 得出式(1)满足一定的微分不等式, 从而证明了高维双曲型方程组的解在一定条件下不能整体存在.由于光滑解的有限时间爆破, 所以, 需要进一步讨论方程的弱解, 即满足积分方程的L∞解, 此时方程中的导数应理解为解的弱导数[5].弱解的存在性以及光滑解的奇异形成机制, 即解的导数在某范数下的爆破将是本文研究的内容.
2 局部存在性和有限传播速度设V(x, t)=(n(x, t), ρ(x, t), v(x, t)), V0(x)=V(x, 0)=(n0(x), ρ0(x), v0(x)), V=(n, ρ, 0), 其中, n>0, ρ>0为常数, 对于初值问题式(1)和式(2), 首先给出光滑解的存在性定理.
定理1 若(V0-V)=(n0-n, ρ0-ρ, v0)∈H3, 则初值问题式(1)和式(2)存在一个唯一的光滑解V-V且(V-V)∈C([0, T), H3)∩C1([0, T), H2), 有限时间T>0且T依赖于初值V0与V.
定理1可利用不动点定理证明, 可参考文献[7-8].现利用定理1证明方程(3)的解具有有限传播速度.
定理2 假设(V0-V)∈H3, 对任意给定的T>0, (V-V)∈C([0, T), H3)∩C1([0, T), H2)是初值问题式(1)和式(2)的一个解, 如果存在R>0, 使得supp(V0-V)⊂{x∈
证明 将方程(1)在常状态V=(n, ρ, 0)下作线性化处理, 得到如下方程:
(3) |
将式(3)的第1个方程乘以(n-n)B1, 第2个方程乘以(ρ-ρ)B2, 第3个方程乘以v, 其中, B1=
(4) |
其中
(5) |
任取τ∈[0, t), 定义斜截锥:Gτ={(y, s):|y-x|≤σ(t-s), 0≤s≤τ, 将式(4)在Gτ上积分, 利用散度定理, 式(4)左边项积分, 可得
(6) |
利用Cauchy不等式, 可得
同理,
取σ=2max{n, ρ, B1n, B2ρ}, 则式(6)的第3项中的被积函数可以估计为
(7) |
由此可知, 式(6)的第3项积分是非负的, 现估计式(4)的右边项在Gτ上的积分.
利用Cauchy不等式, 式(5)中E1, E2, E3分别估计为
同理,
式(4)的右边项在Gτ上积分, 可得
(8) |
存在常数C>0, 合并式(6)~(8), 则式(4)化简为
令
则有
由Gronwall不等式可得
因此, 取x∈
利用方程(1)得到一些等式和微分不等式, 利用这些微分不等式可以获得相应的估计, 利用有限传播速度定理2来证明当初值满足一定条件时, 方程(1)的局部光滑解在有限时间内的奇异性.有限传播速度起关键作用.
固定R>0, 定义:
|D(t)|是D(t)的体积.
定理3 假设V0-V=n0-n, ρ0-ρ, v0∈H3, 存在R>0, supp (V0-V)⊂x≤R, 设
(9) |
其中, C0>0.‖·‖表示
证明 由式(1)的前2个方程可知
则
(10) |
利用式(1)的第3个方程及分部积分, 可得
(11) |
利用P(n, ρ)=n+ργ, γ>1的凸性, 可得
(12) |
由式(11)和式(12)可得
(13) |
假设解被整体定义, 利用式(10)和Cauchy-Schwarz不等式证明式(9).
所以,
(14) |
现证明v(t)的L2模下界估计.因为, n∈
(15) |
将式(15)两边再积分, 整理得
(16) |
利用Cauchy-Schwarz不等式, 由定理2, 及|n+ρ|的一致有界性, 有
(17) |
其中, Ci>0, i=0, 1, 2, 3.
由式(16)和式(17)可得
(18) |
由式(14)和式(18)可得
定理3证毕.
定理4 假设V=(n, ρ, v)是初值问题式(1)和式(2)的一个解, V-V=(n-n, ρ-ρ, v)∈C([0, τ), H3)∩C1([0, τ), H2), τ>0, 对于任意固定的T>0, 若
(19) |
或
(20) |
则τ<T.
证明 假设式(1)的解在[0, τ)上存在, 利用有限传播速度定理2和Cauchy-Schwarz不等式, 可得
(21) |
利用式(10), 可得
(22) |
联立式(13), (21), (22), 可得微分不等式
因为,A(t)是增的, 所以,
(23) |
则∀t∈[0, τ), I′(t)≥
因此, τ<T.
假设式(20)成立, 令W(τ)=3A(τ)(F1(0)+γργ-1F2(0)), 则式(23)变为
令I(0)2+W(τ)>0, 此时, I(t)是单调递增的.令h2=|W(τ)|, 则
将上式在0~τ上积分, 得
若x∈(0, π), 有cot x<
则τ<T, 否则, 与式(20)矛盾.
定理5证毕.
[1] | MELLET A, VASSEUR A. Asymptotic analysis for a Vlasov-Fokker-Planck/compressible Navier-Stokes system of equations[J]. Communications in Mathematical Physics, 2008, 281(3): 573–596. DOI:10.1007/s00220-008-0523-4 |
[2] | SIDERIS T C. Delayed singularity formation in 2D compressible flow[J]. American Journal of Mathematics, 1997, 119(2): 371–422. DOI:10.1353/ajm.1997.0014 |
[3] | NISHIDA T. Nonlinear hyperbolic equations and related topics in fluid dynamics[M]. Paris: Université de Paris-Sud, 1978. |
[4] | DAFERMOS C M.Can dissipation prevent the breaking of waves[C]//Transactions of the Twenty-Sixth Conference of Army Mathematicians.Research Triangle Park.Research Triangle Park, 1981:187-198. http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=605324 |
[5] | LI T S. Global classical solutions for quasilinear hyperbolic systems[M]. Chichester: John Wiley & Sons, 1994. |
[6] | SIDERIS T C, THOMASES B, WANG D H. Long time behavior of solutions to the 3D compressible Euler equations with damping[J]. Communications in Partial Differential Equations, 2003, 28(3): 795–816. |
[7] | MAJDA A. Compressible fluid flow and systems of conservation laws in several space variables[M]. New York: Springer, 2012. |
[8] | KATO T. The Cauchy problem for quasi-linear symmetric hyperbolic systems[J]. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1975, 58(3): 181–205. DOI:10.1007/BF00280740 |