本文中若不加其他说明, 亚纯函数f(z)通常指在复平面
定义1 λ(f), σ(f), σ2(f)分别表示f的零点收敛指数、级以及超级, 对应表达式为
定义2 设a(z)在
定义3 设f(z)亚纯, a为任一复数, 若f(z)-a在
定义4 若η为非零常数, 定义差分和n阶差分算子
定义5 设f(z)与g(z)是区域D内的2个亚纯函数, a是一个复数.若f(z)-a与g(z)-a在D内有相同的零点, 则称f与g在区域D内分担a, 或称IM分担a.更进一步, 若f(z)-a与g(z)-a在D内有相同的零点, 并且所有的零点重级也相同, 则称f与g在区域D内CM分担a.
1996年, Brücke[4]提出了著名的猜想.
猜想 设f(z)为非常值整函数, 超级有穷且不为正整数, 若f(z)与f′(z)CM分担有限值a∈
Brücke证明了a=0时的特殊情况[4], 有穷级[5]以及超级小于1/2[6]的情况也已经被证明.2009年, Heittokangas等[7]研究了涉及差分算子的Brücke猜想, 得到了定理1.
定理1 设f(z)为级小于2的亚纯函数, c∈
2015年, Shi等[8]将上述定理中的条件“分担常数a”推广为“分担小函数α(z)”, 并考虑n阶差分情形, 得到了定理2.
定理2 设f(z)为级小于2的超越整函数, α(z)≠0为整函数, 满足σ(α) < σ(f)和λ(f-α) < σ(f).若Δnf(z)-α(z)和f(z)-α(z)CM分担0, 则α(z)为一个次数不超过n-1的多项式, f(z)具有如下的形式:
式中:H(z)是一个多项式, 满足cH(z)=-α(z); c, d是非零常数, 满足ed=1.
随后Chen等[9]又将定理2中级小于2的条件放宽为有穷级, 得到了定理3.
定理3 设f(z)是一个有穷级的超越整函数, 且λ(f-a) < σ(f), 这里, a(z)是一个级小于1的整函数.若f(z)与Δnηf(z)分担一个整函数b(z)(b
式中, c, c1是非零常数.
最近, Liao等[10]又考虑了a(z)是Borel例外值小函数的情形, 得到了定理4.
定理4 设f(z)是一个有穷级的超越整函数, a(z)是它的一个Borel例外小函数, 满足σ(a) < 1.若Δηnf与f CM分担函数d, 这里, d(z)是级小于f(z)的整函数, 则
从而f(z)具有如下形式:
式中, c, β是非零常数, 满足
在此基础上, 作者考虑将上述结论推广到超级小于1的超越整函数, 得到了定理5.
定理5 设f(z)是
引理1 [11]假设f1, f2, …, fn (n≥2)是亚纯函数, g1, g2, …, gn是满足下列条件的整函数:
a.
b. gj-gk不是常数, 1≤j < k≤n;
c. 对于1≤j≤n, 1≤h < k≤n, T(r, fj)=o{T(r, egh-gk)}(r→∞, r∉E).
则fj=0, j=1, 2, …, n.
引理2 [3]若f(z)是非常值的周期亚纯函数, 则f(z)的级σ(f)与下级μ(f)都大于等于1.
引理3 [3]若f(z)是
引理4 [3]若f(z)与g(z)是
(1) |
现证明定理5.
证明 由于a是f的Picard例外小函数, 故f(z)=a(z)+eh(z), h(z)是整函数, σ(h(z)) < 1.
现分两种情况讨论.
情况1 h(z)是超越整函数.
0≤σ(h) < 1, 由于f与Δf CM分担0, 因此, 存在整函数p(z)使得
(2) |
现将排除3个相关的断言.
断言1 σ(p(z))>σ(h(z)).
由式(2)可得
(3) |
由断言1可得, σ(p(z))>σ(h(z+1)), 于是
(4) |
由引理1可得, f(z)≡0, 与f(z)为超越整函数矛盾.
断言2 σ(p(z))=σ(h(z)).
若h(z)=p(z)+c, 则
(5) |
将中间两项合并, 可得
(6) |
记ec+a=b.若b=0, 有eh(z+1)-p(z)=eh(z), 于是,
(7) |
与h(z)=p(z)+c联立, 可得
有
将两式相除, 即得
容易发现函数
于是, b≠0, 又有h(z+1)-p(z)≠p(z)+h(z)+c.否则, 类似式(7)得到矛盾.排除上述假设后, 根据引理1即得矛盾.
再若h(z+1)-p(z)-h(z)≡c, 则Δh(z)=p(z)+c, 于是,
(8) |
将第一项与最后一项合并为常数, 同式(7)的证明方法, 可以得到矛盾.
若上述情况未发生可直接由引理1得到矛盾.
断言3 σ(p(z)) < σ(h(z)).
则由式(2)可得
(9) |
由引理1可以得到矛盾.
这时3个断言皆不成立, 已经可以判定h(z)非超越整函数, 情况1不成立.
情况2 h(z)为多项式.
情况2的证明参见文献[12].
[1] | CHEN C X. Complex differences and difference equations[M]. Beijing: Science Press, 2014. |
[2] | LAINE I. Nevanlinna theory and complex differential equation[M]. Berlin: Walter de Gruyter, 1993. |
[3] | YANG CC, YI H X. Uniqueness theory of meromorphic functions[M]. Beijing: Science Press, 2006. |
[4] | BRVCKE R. On entire functions which share one value CM with their first derivative[J]. Results in Mathematics, 1996, 30(1/2): 21–24. |
[5] | GUNDERSEN GG, YANG L Z. Entire functions that share one value with one or two of their derivatives[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1998, 223(1): 88–95. DOI:10.1006/jmaa.1998.5959 |
[6] | CHEN Z X, SHON K H. On conjecture of R.Brück concerning the entire function sharing one value CM with its derivative[J]. Taiwanese Journal of Mathematics, 2004, 8(2): 235–244. DOI:10.11650/twjm/1500407625 |
[7] | HEITTOKANGAS J, KORHONEN R, LAINE I, et al. Value sharing results for shifts of meromorphic functions, and sufficient conditions for periodicity[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2009, 355(1): 352–363. DOI:10.1016/j.jmaa.2009.01.053 |
[8] | ZHANG J, KANG H Y, LIAO L W. Entire functions sharing a small entire function with their difference operators[J]. Bulletin of the Iranian Mathematical Society, 2015, 41(5): 1121–1129. |
[9] | CHEN C X, CHEN Z X. Entire functions and their higher order differences[J]. Taiwanese Journal of Mathematics, 2014, 18(3): 711–729. DOI:10.11650/tjm.18.2014.3453 |
[10] | LIAO L W, ZHANG J. Shared values and Borel exceptional values for high order difference operators[J]. Bulletin of the Korean Mathematical Society, 2016, 53(1): 49–60. DOI:10.4134/BKMS.2016.53.1.049 |
[11] | HALBURD R, KORHONEN R, TOHGE K. Holomorphic curves with shift-invariant hyperplane preimages[J]. Transactions of the American Mathematical Society, 2014, 366(8): 4267–4298. DOI:10.1090/tran/2014-366-08 |
[12] | SHI X J, LIAO L W, ZHANG J. On a polynomail p such that p(Δn f) and p (f) sharing a small function[J]. Houston Journal of Mathmatics, 2017, 43(2): 345–361. |