2. 上海财经大学 经济学院,上海 200433
2. School of Economics, Shanghai University of Finance and Economics, Shanghai, 200433, China
有效市场假说作为现代金融学的基石,极大地推动了金融理论的发展,并对金融实践有着深刻的指导意义。人们从海量的金融市场数据中发现,金融市场不是完全随机的,而是具有长程关联(分形)结构,从而提出了分形市场理论。时间序列的分形结构表明,复杂系统在不同的时间尺度上满足相同的规律,体现为某些统计量的尺度不变性。
1 研究现状和存在的问题
Mantegna等[1]首次将尺度不变性方法引入经济系统分析中。一个股指的价格序列
$\begin{split}X(s) &= \{ {x_m} \equiv |\log\;{P_i} - \log\;{P_{i - s}}|, \\ {{i }} &= {{ s}} + {{1, s}} + {{2, }} \cdots {{, N}}\} \end{split}$ | (1) |
其中,
$P(x, s)\sim \frac{1}{{{s^\delta }}}F\left( {\frac{x}{{{s^\delta }}}} \right)$ | (2) |
则称该序列满足尺度不变性,即在尺度
在有效市场中,概率密度函数
作为提取尺度自相似结构的标准方法,基于方差的分析如小波变换模极大值(wavelet transformation modulus maxima,WTMM)[3-6]和趋势消除波动分析(detrended fluctuation analysis,DFA)[7-10],在文献中被广泛使用。而方差分析法具有以下2个局限性:
a. 这种方法是依赖于动力学机制的。用
b. 这种方法一般都需要很长的时间序列。大量的研究表明,利用DFA和WTMM去估计尺度指数的时候,时间序列的长度至少要分别达到213 [11]和214 [12]才能得到
2002年,Scafetta等[14]提出了扩散熵(diffusion entropy,DE)的概念以解决依赖于动力学机制的问题。这一方法利用概率分布函数计算熵,考察熵和尺度的关系,而不再考察方差与尺度的关系。简单的推导可以得到,熵与尺度的自然对数满足线性关系,其斜率就是尺度指数的无偏估计。无论对于哪种动力学机制产生的时间序列,扩散熵方法都是行之有效的。
然而,大量的研究表明[15-22],利用扩散熵方法估计尺度指数需要比较长的时间序列。为了解决短序列的估计问题,Bonachela等[23]提出了熵的平衡估计量方法。这种方法的主要思想是使统计误差(fluctuation)及系统误差(bias)同时最小。然而,在推导过程中,明显的限制条件
如果股指波动率序列满足尺度不变性,此时该序列的扩散熵E满足
$E = - \int_{ - \infty }^{ + \infty } {P(x, s)\ln P(x, s){\rm d}x} = A + \delta \ln s$ | (3) |
由式(3)可以看出,扩散熵与窗口
利用滑动平均法使波动率序列
$\begin{split}Z(s) &= {\big\{} {z_m} \equiv {x_{m + [\frac{{s + 1}}{2}]}} - {v_{m + [\frac{{s + 1}}{2}]}}, \\ & m = 1, 2, \cdots, N - 2s + 1{\big\}}\end{split}$ | (4) |
利用CBEDE方法得到扩散熵的可靠估计。首先将
$ \left\{\begin{split} &Q(n, p) = \displaystyle\frac{{(N - 2s + 1)!}}{{{n_1}!{n_2}! \cdots {n_{M(s)}}!}}p_1^{{n_1}}p_2^{{n_2}} \cdots p_{M(s)}^{{n_{M(s)}}}\\ &\quad{\rm{s}}.{\rm{t}}.\;\;{p_1} + {p_2} + \cdots + {p_n} = 1\\ &\;\;\;\quad\quad{n_1} + {n_2} + \cdots {n_{M(s)}} = N - 2s + 1 \end{split}\right. $ | (5) |
CBEDE方法的主要思想是要平衡统计误差和系统误差,从而使两者都被接受。如果扩散熵的估计量为
$ \left\{\!\!\begin{array}{l} \varDelta _{\rm fluc}^2(n, p) \equiv \langle {(\hat S - S)} \rangle {^2} \\ \varDelta _{\rm bias}^2(n, p) \equiv {(\langle { \hat S} \rangle - S)^2} \end{array}\right. $ | (6) |
其中,
$ \begin{split} &\;{\varDelta ^2}(n, s) \!=\! \displaystyle\int_{\sum\limits_{m = 1}^{M(s)} {{p_m} = 1} }\! {{\rm d}p [\varDelta _{\rm bias}^2(n, p) + \varDelta _{\rm fluc}^2(n, p)]Q(n, p)} =\\ &\; \displaystyle\int_{\sum\limits_{m = 1}^{M(s)} {{p_m} = 1} } {{\rm d}p \left\{ {\sum\nolimits_{\sum\limits_{m = 1}^{M(s)} {{n_m} = N - 2s + 1} } {Q(n, p){\hat S^2} (n) + {\hat S^2} (p)} } \right\}}- \\ &\; \displaystyle\int_{\sum\limits_{m = 1}^{M(s)} {{p_m} = 1} } {{\rm d}p \left[{2S(p) \displaystyle\sum\nolimits_{\sum\limits_{m = 1}^{M(s)} {{n_m} = N-2s + 1} } {Q(n, p){\hat S^2} (n)} } \right]}\end{split}$ | (7) |
估计量
$\frac{{\partial {\varDelta ^2}(n, s)}}{{\partial n}} = 0$ | (8) |
经过一系列的计算,得到
$\begin{split}&\hat S (n, s) = \frac{1}{{N - 2s + 1 + M(s)}}{\text{·}}\\ &\quad\quad\quad\sum\limits_{m = 1}^{M(s)} {[{n_m} + 1]} \sum\limits_{k = {n_m} + 2}^{N - 2s + 1 + M(s)} {\frac{1}{k}} \end{split}$ | (9) |
将式(9)称为扩散熵的相关依赖平衡估计(CBEDE)。
第1步 通过原始的股指价格序列P来计算波动率序列X(s);
第2步 消除波动率序列X(s)的趋势,进一步得到去趋势序列Z(s);
第3步 将去趋势序列Z(s)分割成许多段。每段尺度选择为波动率序列X(48)的标准差(std)的分形维数,
第4步 用式(9)去估计相关依赖的平衡扩散熵,用S(s)表示;
第5步 重复上述4个步骤,选取
第6步 用
以中国股票市场上4个重要的股指的波动率序列为研究对象,4个股指分别为:上证综合指数(SSE Composite Index)、沪深300指数(CSI 300 Index)、中证小盘500指数(CSI SmallCap 500 Index)和上证50指数(SSE 50 Index)。时间跨度为2014年1月9日到2017年1月5日,共3年。
图1为上证综指的价格和波动率变化图,T为时间(5 min),P为价格,V为波动率。上证综指的价格分布很宽,其范围为[1 991.25,5 166.35],它是一个具有多峰的复杂形状。表1展示了2014—2016年中国股市的3次重要事件。
让覆盖10个交易日的窗口沿着波动率序列滑动,滑动步长为一个交易日。然后计算每个片段的
图3为上证综合指数、沪深300指数、中证小盘500指数和上证50指数4只股指的尺度行为演化过程,T为时间(5 min),
如图3所示,很有意思的是找到了表2所展示的中国股市的重要事件和股指尺度行为之间的可能的关系。为了显示事件的影响,本文考虑了以事件发生的当天为中心的10个交易日长度的尺度指数曲线,可以找到与事件对应的曲线部分具有十分明显的特征。比如,在疯牛阶段,上证综指、沪深300指数、中证500指数和上证50指数的尺度指数曲线都是先下降随后又上升。股灾1.0的时候,4只股指的尺度指数曲线都是上升的。而股灾2.0的时候,4只股指的尺度指数曲线都是下降的。中国股市在疯牛阶段之前,长期处于低迷中,一直徘徊在2 000点左右,2014年11月21日晚间的降息政策让市场为之一振,使投资者相信股市即将上涨,所以,
金融市场的尺度行为因其在复杂系统理论中的可能应用而备受关注。然而,所有评价时间序列尺度行为的标准工具都是基于概率论的思想,而概率论需要大量数据的支持。随着时间的推移,尺度行为会逐渐演化。本文利用相关依赖的平衡扩散熵方法来研究中国股票市场上4个重要的股指的波动率序列的尺度行为及其演化过程。研究发现,股指波动率序列的每个部分都存在尺度不变性,它们在演化过程中的不同时间尺度上具有丰富的特征。如果提取与中国股票市场上重要事件相对应的股指尺度行为曲线,则可以发现,曲线具有十分显著的特征,如先下降随后上升,或上升,或下降。这些特征可用来定量描述金融事件以及金融事件之间的区别,希望对进一步研究金融系统的演化行为有一定的帮助。
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