1 问题的提出

关于幻方的研究由来已久,中国古书《易经》中记载的洛书是世界上最早的幻方.随后,幻方传入世界各地,引起了广泛关注,取得了许多成果.幻方不仅具备美感,还蕴含着许多奇特的奥秘,具体可参看文献^{[1, 2, 3]}.随着计算机的快速发展,幻方广泛应用于人工智能、图像处理、图论及对策论等方面.

定义1 对任意的正整数n≥3,将1,2,…,n²填入n×n的矩阵中,使得矩阵的每行、每列及对 角线之和均为同一个数s,这样的矩阵称为幻方矩阵(或魔方矩阵),简称为幻方,s为幻方值.

显然,n阶幻方中所有整数的和为 1+2+…+n²= n²(n²+1)/2

按照幻方的定义即知2s=n(n²+1).

文献^[4]通过对幻方矩阵特征值的分析,给出了一种构造奇数阶非奇异幻方的方法,但并未给出其特征值的计算公式.文献^[5]给出了幻方的精彩应用案例.文献^[6]讨论了奇数阶幻方的一种构造方法.除此之外,幻方的构造方法还有很多,在文献^[2]中有详细的介绍.文献^[7]给出了利用线性空间理论来构造幻方的方法.文献^[8]对奇数阶幻方特征值给出了一个猜测:奇数阶幻方的特征值均为实特征值,除最大特征值为幻方矩阵的幻方值外,其它特征值正负成对出现.

现对文献^[7]中奇数阶幻方的一种构造方法进行改造,给出奇数阶幻方的一种代数表示方法.基于这种表示法,应用循环矩阵和对称循环矩阵的性质,对奇数阶幻方特征值进行分析,最后给出奇数阶幻方全部特征值的统一计算公式.因此,发现文献^[8]中关于奇数阶幻方特征值的猜想是错误的.

为了分析奇数阶幻方特征值的性质,需要以下的概念与结论.

定义2^[9] 若n阶复矩阵 A ∈C^n×n具有形状

则称 A 为n阶循环矩阵,记为 A =circ(a₀,a₁,…,a_n－1).称 π =circ(0,1,0,…,0)为基本循环矩阵,即

显然, π 为正交矩阵,则必为正规矩阵,从而 π 在复数域上可以对角化.因为, π ⁿ= E 且 π ^k≠ E (其中,k E 为单位矩阵),所以, π 的n 个特征值分别为1,ε,ε²,…,ε^n－1,其中,ε为n次单位原根,相对应的特征向量为 α ₀, α ₁,…, α _n－1,可解得 α _i = (1,εⁱ,ε²ⁱ,…,ε^(n－1)i),i=0,1,2,…,n－1

定义3^[9] 若n阶复矩阵 B ∈C^n×n具有形状

则称 B 为n阶对称循环矩阵,记为 B =sc(a₀,a₁,…,a_n－1).称 σ =sc(0,0,…,0,1,0)为基本对称循环矩阵,即

引理1^[9] 矩阵 A , B 由式(1)和(2)定义,则有表示

引理2中关于奇数阶幻方的构造方法引自文献[7].

引理2 矩阵 M =n A _n+ B _n+ H _n为n=2m+1(m≥1)阶幻方,其中 A _n=circ(m,m+1,…,m－1) 即

B _n为 A _n逆时针旋转90^°所得矩阵, H _n为元素全为1的矩阵.

现对这种构造作以下改造.为此,先证明引理3.

引理3 矩阵 π 为基本循环矩阵, σ 为基本对称循环矩阵,则有 π σ = σ π ^n－1, π ^m+1 σ = σ π ^m

证明 易验证 σ π ^n－1= σ π ⁿ π ^－1= σ π ^－1,从而有 π σ = σ π ^n－1成立.往证另一算式成立.由 π σ = σ π ^n－1可得 π ^m+1 σ = π ^m( π σ )= π ^m σ π ^n－1= π ^m－1( π σ ) π ^n－1= π ^m－1 σ π ^2(n－1)= π ^m－2( π σ ) π ^2(n－1)= π ^m－2 σ π ^3(n－1)=…= π σ π ^m(n－1)= σ π ^(m+1)(n－1)= σ π ^m

结合引理2和引理3可得定理1.

定理1 令g(x)=ixⁱ,则n阶幻方矩阵 M 可表为 M = π ^m+1[ng( π )+ σ π g( π ^－1)]+ H _n

证明

由引理1和引理2可将 M 写成

结合引理3及恒等式 π ⁿ= π ^2m+1= E ,得

3 幻方特征值的计算

现基于定理1求出奇数阶幻方的特征值.由于相似矩阵具有相同的特征值,因此,要计算幻方矩阵 M 的特征值,只需考虑矩阵 P ^－1 M P .结合文献[10]可得定理2.

定理2 存在n阶可逆矩阵 P ,使得 P ^－1 π P 和 P ^－1 H _n P 均为对角阵,且

证明 令 P =( α ₀, α ₁,…, α _n－1),其中, α _i=(1,εⁱ,ε²ⁱ,…,ε^(n－1)i),i=0,1,…,n－1.显然, P 是范德蒙矩阵,从而 P 可逆.易验证 P ^－1 π P =diag(1,ε,ε²,…,ε^n－1), P ^－1 H _n P =diag(n,0,0,…,0).由引理3, π σ = σ π ^－1,有 ( P ^－1 π P )( P ^－1 σ P )=( P ^－1 σ P )( P ^－1 π ^n－1 P )

记 P ^－1 σ P =(a_ij)_n×n,即为

解得

进一步,将 P =( α ₀, α ₁,…, α _n－1)代入式(3),得u_k=ε^2k,k=0,1,2,…,n－1.

由定理1计算得 P ^－1 M P = P ^－1[ π ^m+1(ng( π )+ σ π g( π ^－1))] P +

因此,结合定理2,有定理3.

定理3 令f(x)=x^m+1g(x),则

定理4 对任意正整数k,0≤k≤n,有

a. f(ε^k)+f(ε^n－k)=0;

b.f(ε^k)f(ε^n－k)= n²/2－(ε^k+ε^n－k) .

证明 利用Abel分部求和公式^[11],得

现证明a和b成立.

a.f(ε^k)+f(ε^n－k)= nε^k(m+1)/(ε^k－1)+ nε^(n－k)(m+1)/(ε^n－k－1)= nε^k(m+1)/(ε^k－1)+ nε^{(n－k)(m+1)+k} /(1－ε^k )=0;

b.f(ε^k)f(ε^n－k)= nε^k(m+1)/(ε^k－1)nε^(n－k)(m+1)/(ε^n－k－1)= n²/(2－(ε^k+ε^n－k)).

即定理4成立.

由定理2～4得定理5.定理5给出了奇数阶幻方全部特征值的统一计算公式.

定理5 n=2m+1(m≥1)阶幻方 M 的全部特征值为

式中,i为虚数单位,即i²=－1.

证明 计算行列式φ(λ)= λ E － P ^－1 M P |,得

对任意正整数k,ε^k与ε^n－k总是共轭的,因此,ε^k+ε^n－k∈R,且有 ε^k+ε^n－k=2Re(ε^k)<2

于是,令φ(λ)=0,可知 M 的全部特征值由式(4)给出.

研究结果表明,奇数阶幻方矩阵有实特征值s,其它特征值均为纯虚数且共轭出现,其数值由式 (4) 给出.鉴于此,发现文献[8]中关于奇数阶幻方的特征值的猜想是错误的.例如,当n=3时,3阶幻方的特征值分别为15,2 6 i,－2 6 i,其特征值中有纯虚数,并非全是实数.