﻿ 高端养老机构服务的价格形成能够提高社会福利吗？——基于Hotelling动态博弈模型的分析
 上海理工大学学报  2019, Vol. 41 Issue (4): 359-367 PDF

Can the Price Formation of the Advance Aged Care Service Institutions Improve Social Welfare?——Analysis of Hotelling Dynamic Game Model
SHEN Qin, GAO Pengfei, ZHANG Jianming
School of Social Sciences, Shanghai University of Engineering Science, Shanghai 201620, China
Abstract: Old people living in the advance aged care service institutions are the retirement pension group whose pension and savings are sufficient to cover the charges of the advance aged care service institutions. As the elderly group continues to grow, the market is " in short supply” and there is a monopoly phenomenon. The elderly are in the relatively disadvantaged position. In order to make the market healthy and protect the basic rights of the elderly, it is necessary to study its pricing mechanism and social welfare. This paper takes advance aged care service institutions of the duopoly as the research object, establishes two Hotelling dynamic game models, compares the pricing mechanism and social welfare of the elderly when they buy " free deposit” insurance and " wholesaling deposit” insurance, finds that no matter how the elderly choose to stay, the aged care service institutions can obtain excess profits, and when the elderly buy the " free deposit” insurance, the profit of the old-age institutions, the welfare of the elderly and the social welfare have increased significantly.
Key words: Hotelling dynamic game model     advance aged care service institutions     pricing mechanism     social welfare

1 定价均衡模型引入

2 定价均衡模型分析

2.1 趸交“押金”入住时的定价均衡

 $\begin{split} &{Q_{\rm A}} = \frac{{P_{2{\rm B}}^{\rm G} - P_{2{\rm A}}^{\rm G}}}{{2d}} + \frac{{1 + {f_{\rm a}} - {f_{\rm b}}}}{2}\\ &{Q_{\rm B}} = \frac{{P_{2{\rm A}}^{\rm G} - P_{2{\rm B}}^{\rm G}}}{{2d}} + \frac{{1 - {f_{\rm a}} + {f_{\rm b}}}}{2} \end{split}$
 $\begin{split} &{f_{\rm a}} = \frac{{d + P_{2{\rm B}}^{\rm F} + P_{2{\rm B}}^{\rm G} - P_{2{\rm A}}^{\rm F} - P_{2{\rm A}}^{\rm G}}}{{2d}}\\ &{f_{\rm b}} = \frac{{d + P_{2{\rm A}}^{\rm F} + P_{2{\rm A}}^{\rm G} - P_{2{\rm B}}^{\rm F} - P_{2{\rm B}}^{\rm G}}}{{2d}} \end{split}$

 $\begin{split} & \quad{\pi _{2{\rm A}}} =(P_{2{\rm A}}^{\rm F} - {C_2}){Q_{\rm A}} =\\ & \qquad \left(P_{2{\rm A}}^{\rm F} - {C_2}\right)\left(\dfrac{{P_{2{\rm B}}^{\rm G} - P_{2{\rm A}}^{\rm G}}}{{2d}} + \dfrac{{1 + {f_{\rm a}} - {f_{\rm b}}}}{2}\right) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ & \quad{\pi _{2{\rm B}}} = (P_{2{\rm B}}^{\rm F} - {C_2}) {Q_{\rm B}} =\\ &\qquad \left(P_{2{\rm B}}^{\rm F} - {C_2}\right)\left(\dfrac{{P_{2{\rm A}}^{\rm G} - P_{2{\rm B}}^{\rm G}}}{{2d}} + \dfrac{{1 - {f_{\rm a}} + {f_{\rm b}}}}{2}\right) \end{split}$

 $\left\{\begin{split} &P_{2{\rm A}}^{\rm F} = d + {C_2} + \frac{2}{3}\left(P_{2{\rm B}}^{\rm G} - P_{2{\rm A}}^{\rm G} \right)\\ &P_{2{\rm B}}^{\rm F} = d + {C_2} + \frac{2}{3}\left(P_{2{\rm A}}^{\rm G} - P_{2{\rm B}}^{\rm G} \right) \end{split}\right.$ (1)

2.2 购买“免押金”保险入住时的第二期定价均衡

 $\left\{\begin{split} &U - {l_{\rm a}}d - P_{2{\rm A}}^{\rm C} = U - \left(1 - {l_{\rm a}}\right)d - P_{2{\rm B}}^{\rm F}\\ &U - {l_{\rm b}}d - P_{2{\rm A}}^{\rm C} = U - \left(1 - {l_{\rm b}}\right)d - P_{2{\rm B}}^{\rm F} \end{split}\right.$ (2)

 $\left\{\begin{split} &{l_{\rm a}} = \frac{d + P_{2{\rm B}}^{\rm F} - P_{2{\rm A}}^{\rm C}}{{2d}}\\ &{l_{\rm b}} = \frac{{d + P_{2{\rm B}}^{\rm C} - P_{2{\rm A}}^{\rm F}}}{{2d}}\end{split}\right.$ (3)

 ${\pi _{2{\rm A}}} =\left(1 - \omega \right){l_{\rm b}}\left(P_{2{\rm A}}^{\rm F} - {C_2}\right){\pi _{2{\rm B}}} = \omega \left(1 - {l_{\rm a}}\right)\left(P_{2{\rm B}}^{\rm F} - {C_2}\right)$

 $\left\{\begin{split}&P_{2{\rm A}}^{\rm F} = \frac{1}{2}\left(P_{2{\rm B}}^{\rm C} + d + {C_2}\right)\\ &P_{{\rm{2}}{\rm B}}^{\rm F} = \frac{1}{2}\left(P_{{\rm{2}}{\rm A}}^{\rm C} + d + {C_2}\right)\end{split}\right.$ (4)

2.3 第一期购买“免押金”保险入住时的定价均衡

 $\begin{split} & \quad E(U,{P_{1{\rm A}}},P_{2{\rm A}}^{\rm C}) =U - {P_{1{\rm A}}} - \omega d + U - \\ & \qquad \int_0^{{l_{\rm a}}} {(P_{2{\rm A}}^{\rm C} + xd)} {\rm d}x - \int_{{l_{\rm a}}}^1 {[P_{2{\rm B}}^{\rm F} + (1 - x) d]} {\rm d}x\qquad\qquad\qquad\qquad \end{split}$

 $\begin{split} &\quad E(U,{P_{1{\rm B}}},p_{2{\rm B}}^{\rm C}) = U - {P_{1{\rm B}}} - (1 - \omega ) d + U - \\ &\qquad\int_0^{{l_{\rm b}}} {(P_{2{\rm A}}^{\rm F}+ x d)} {\rm d}x - \int_{{l_{\rm b}}}^1 {[P_{2{\rm B}}^C + (1 - x) d]} {\rm d}x\qquad\qquad\qquad \end{split}$

 $\begin{split} &\quad\omega = \frac{1}{{2d}}\Biggr[\frac{{P_{2{\rm B}}^{\rm C} - P_{2{\rm A}}^{\rm C}}}{4}({l_{\rm b}} - {l_{\rm a}}) + \left(P_{2{\rm A}}^{\rm F} - P_{2{\rm B}}^{\rm C}\right){l_{\rm b}} +\\ &\qquad\left(P_{2{\rm B}}^{\rm F} - P_{2{\rm A}}^{\rm C}\right){l_{\rm a}} + {P_{1{\rm B}}} - {P_{1{\rm A}}} - P_{2{\rm B}}^{\rm F}+ P_{2{\rm B}}^{\rm C}\Biggr] + \frac{1}{2}\qquad\qquad\\[-15pt] \end{split}$ (5)

 $\begin{split} & \quad{\pi _{1{\rm A}}} = \omega ({P_{1{\rm A}}} - {C_1}) + \omega {l_{\rm a}}(P_{2{\rm A}}^{\rm C} - {C_2}) +\\ &\qquad (1 - \omega ){l_{\rm b}}(P_{2{\rm A}}^{\rm F} - {C_2}) \\ &\quad {\pi _{1{\rm B}}} = (1 - \omega )({P_{1{\rm B}}} - {C_1}) + (1 - \omega )(1 - {l_{\rm b}})(P_{2{\rm B}}^{\rm C} - {C_2}) +\qquad\qquad\\ &\qquad \omega (1 - {l_{\rm a}})(P_{2{\rm B}}^{\rm F} - {C_2}) \end{split}$

$\omega$ ${l_{\rm a}}$ ${l_{\rm b}}$ $p_{2{\rm A}}^{\rm F}$ $p_{2{\rm B}}^{\rm F}$ 代入式（5），由利润函数π1A和π1B的一阶条件，可得各自的价格函数。同时，Hotelling模型中，因为A，B两家寡头养老机构初始的企业规模相当，故P1A=P1B $P_{2{\rm A}}^{\rm C} = P_{2{\rm B}}^{\rm C}$ 。故可求出 ${P_{1{\rm A}}}$ ${P_{1{\rm B}}}$ $P_{2{\rm A}}^{\rm C}$ $P_{2{\rm B}}^{\rm C}$

 $\left\{\begin{split} &{P_{1{\rm A}}} = {P_{1{\rm B}}} = \frac{1}{3}\left({C_1} + 2{C_2} + 4d\right)\\ &P_{2{\rm A}}^C = P_{2{\rm B}}^C = \frac{1}{3}\left({C_1} + 2{C_2} - d\right) \end{split}\right.$ (6)

 $\left\{\begin{split} &{P_{1{\rm A}}} = {P_{1{\rm B}}} = \frac{1}{3}\left({C_1} + 2{C_2} + 4d\right)\\ &P_{2{\rm A}}^{\rm C} = P_{2{\rm B}}^{\rm C} = \frac{1}{3}\left({C_1} + 2{C_2} - d\right)\\ &P_{2{\rm A}}^{\rm F} = P_{2{\rm B}}^{\rm F} = \frac{1}{6}\left({C_1} + 5{C_2} + d\right) \end{split}\right.$ (7)

3 福利分析与比较

3.1 趸交“押金”入住时的社会福利分析

 $\begin{split} &P{S_{\rm A}} = \frac{1}{2}\left[d + \frac{2}{3}(P_{2{\rm B}}^{\rm G} - P_{2{\rm A}}^{\rm G})\right]\\ &P{S_{\rm B}} = \frac{1}{2}\left[d + \frac{2}{3}(P_{2{\rm A}}^{\rm G} - P_{2{\rm B}}^{\rm G})\right] \end{split}$

3.2 购买“免押金”保险入住时的社会福利分析

3.2.1 两期消费者剩余的分析

a. 第一期消费者剩余的分析。无论是趸交“押金”入住，还是购买“免押金”保险入住，老人都在购买一种入住资格，且 $P_{2{\rm A}}^{\rm G} > {P_{1{\rm A}}}$ ，不妨假设 $P_{2{\rm A}}^{\rm G}$ 为老人购买入住资格时意愿支付的最高价格，P1A为老人购买入住资格时支付的实际价格。由命题2可知，第一期的消费者剩余应为第一期养老机构的市场份额与老人实际支付和意愿支付最高价格之差的乘积，即 $C{S_{2{\rm A}}}{\rm{ = }}\omega (P_{2{\rm A}}^{\rm G} - {P_{1{\rm A}}})$ ，则第一期入住A机构的老人的消费者剩余为

 $C{S_{2{\rm A}}}{\rm{ = }}\frac{1}{2}P_{2{\rm A}}^{\rm G} - \frac{1}{6}({C_1} + 2{C_2} + 4d)$

 $C{S_{2{\rm B}}}{\rm{ = (1}} - \omega )(P_{2{\rm B}}^{\rm G} - {P_{1{\rm B}}}) = \frac{1}{2}P_{2{\rm B}}^G - \frac{1}{6}({C_1} + 2{C_2} + 4d)$

 $C{S_2} = C{S_{2{\rm A}}} + C{S_{2{\rm B}}} = \frac{1}{2}(P_{2{\rm A}}^{\rm G} + P_{2{\rm B}}^{\rm G}) - \frac{1}{3}({C_1} + 2{C_2} + 4d)$

b. 第二期消费者剩余的分析。因为养老机构承诺价格与实际价格之间存在差价，即 $\Delta {P_{2{\rm A}}} = P_{2{\rm A}}^{\rm F} -$ $P_{2{\rm A}}^{\rm C}$ ，老人第二期入住A机构的消费者剩余为

 $\begin{split} & \quad C{S_{3{\rm A}}} =\Delta {P_{2{\rm A}}} {l_{\rm a}} = \frac{1}{{72d}}(40{d^2} + 3C_2^2 + 34d{C_2} - C_1^2 -\qquad\\ &\qquad 4{C_1}{C_2} - 14d{C_1}) \end{split}$

 $C{S_3} = C{S_{3{\rm A}}} + C{S_{3{\rm B}}} = \frac{1}{{36d}}(24{d^2} + 18d{C_2} - C_1^2 - 6d{C_1})$

 $\begin{split} & \quad TC{S_2} =C{S_2} + C{S_3} = [18d(P_{2A}^{\rm G} +P_{2{\rm B}}^{\rm G}) - 6d(3{C_1} -\qquad \\ &\qquad {C_2}) -24{d^2} - C_1^2]/36d\\[-12pt] \end{split}$ (8)

3.2.2 两期生产者剩余的分析

a. 第一期生产者剩余的分析。第一期的生产者剩余PS1A应为其第一期保险服务的经济利润。因此，第一期的生产者剩余为

 $P{S_{1{\rm A}}} = \frac{1}{{144d}}(23d{C_2} + 78{d^2} + 2{C_1}{C_2} - 23d{C_1} - {C_1} - {C_2})$

 $\begin{split} &\quad TP{S_1} = P{S_{1{\rm A}}} + P{S_{1{\rm B}}} = \frac{1}{{72d}}[78{d^2} +2{C_1}{C_2} +\qquad\qquad\quad\\ &\qquad 23d({C_2} - {C_1}) - {C_1} - {C_2}] \end{split}$

b. 第二期生产者剩余的分析。第二期的生产者剩余PS2A应为其第二期的经济利润

 $P{S_{2{\rm A}}} = \frac{1}{{124d}}[C_1^2 + 2{d^2} + 3d({C_1} + {C_2}) + 4{C_1}{C_2} - 5C_2^2]$

 $\begin{split} &\quad TP{S_2} = P{S_{2{\rm A}}} + P{S_{2{\rm B}}} = \frac{1}{{72d}}[C_1^2 + 2{d^2} + 3d({C_1} + {C_2}) +\quad\\ &\qquad 4{C_1}{C_2} - 5C_2^2] \end{split}$

 $\begin{split} &\quad TP{S_3} = \frac{1}{{72d}}[80{d^2} + 6{C_1}{C_2} + 2d(13{C_2} - 10{C_1})+\qquad\quad \\ &\qquad ({C_1} + {C_2})({C_1} - {C_2} - 1) - 4C_2^2]\\[-10pt] \end{split}$ (9)

 $\frac{{\partial TP{S_3}}}{{\partial {C_1}}} = \frac{1}{{72d}}[{C_1}({C_2} + 1) + {C_2}(5 - {C_2}) - 20d]$
 $\frac{{\partial TP{S_3}}}{{\partial {C_2}}} = \frac{1}{{72d}}(6{C_1} - 10{C_2} + 26d - 1)$
 $\frac{{{\partial ^2}TP{S_3}}}{{\partial C_1^2}} = \frac{1}{{72d}}({C_2} + 1)$
 $\frac{{{\partial ^2}TP{S_3}}}{{\partial C_2^2}} = - \frac{5}{{36d}}$

${C_2} \! < \! {\rm{5}}[d \!-\! \sqrt {d(d\! -\! {\rm{3}}{\rm{.2}}} )]{\rm{/2}}$ ${C_2}\! > \! {\rm{5}}[d \!+\! \sqrt {d(d \!- \!{\rm{3}}{\rm{.2}}} )]/$ 2时，养老机构总生产者剩余会随着养老服务边际成本的增加而增加，且增加的速率不断递增，反之亦然。当 ${C_2} > (6{C_1} + 26d - 1){\rm{/10}}$ 时，养老机构总生产者剩余会随着养老服务边际成本的增加而增加，但增加的速率不断递减。反之亦然。但当d>3.2时，C2无法满足两期“同增”或“同减”的条件，故必然存在一期递减，一期递增的情况。再根据前面的分析，养老机构不会过度重视第一期购买“免押金”保险入住的边际成本，而会较为重视第二期养老服务的边际成本。在此情况下，只存在养老机构总生产者剩余会随着保险服务边际成本的增加而加速下降，随着养老服务边际成本的增加而缓慢增加。

 $\begin{split} &\quad T{W_2} = \frac{1}{{72d}}[36(P_{2{\rm A}}^{\rm G} + P_{2{\rm B}}^{\rm G}) + 4d(9{C_1} + 12{C_2} + 8d) + \qquad\\ &\qquad6{C_1}{C_2} - C_1^2 - 5C_2^2 - 21{C_1} - {C_2}]\\[-13pt] \end{split}$ (10)

 $\begin{split} & \frac{{\partial T{W_2}}}{{\partial {C_1}}} = 36d + 6{C_2} - 2{C_1} - 21\\ &\frac{{\partial T{W_2}}}{{\partial {C_2}}} = 48d + 6{C_1} - 10{C_2} - 1\\ &\frac{{{\partial ^2}T{W_2}}}{{\partial C_1^2}} = - 2,\quad \frac{{{\partial ^2}T{W_2}}}{{\partial C_2^2}} = - 10 \end{split}$

4 数值模拟分析

4.1 老人趸交“押金”入住时的相关变量
 $\begin{split} &\qquad\qquad P_{2i}^{\rm F} = P_{2{\rm A}}^{\rm F} \approx \frac{1}{2}\\ & \quad \qquad{\pi _{2{\rm A}}} = 2,\quad {\pi _{2{\rm B}}} = 2\\ & TC{S_1} = 0,\quad TP{S_1} = 4,\quad T{W_1} = 4 \end{split}$
4.2 老人购买“免押金”保险入住时的相关变量
 $\begin{split} &\qquad \qquad{P_{1i}} = \frac{1}{3}({C_1} + 2{C_2} + 16)\\ &{\pi _{1i}} = \frac{1}{{576}}(2{C_1}{C_2} - 93{C_1} + 91{C_2} + 1\;248) \end{split}$
 $\begin{split} &P_{2i}^{\rm C} = P_{2{\rm A}}^{\rm C} = P_{2{\rm B}}^{\rm C} = \frac{1}{3}({C_1} + 2{C_2} - 4)\\ &P_{2i}^{\rm F} = P_{2{\rm A}}^{\rm F} = P_{2{\rm B}}^{\rm F}= \frac{1}{6}({C_1} + 5{C_2} + 4) \end{split}$
 $\begin{split} &\quad {\pi _{2i}} = {\pi _{2{\rm A}}} = {\pi _{2{\rm B}}} = \frac{1}{{576}}(C_1^2 + 6{C_1}{C_2} -5C_2^2 -81{C_1} + \qquad\qquad \qquad\qquad \qquad\qquad \\ &\qquad 103{C_2} + 1\;280) \end{split}$
 $\begin{split} &\qquad\quad TC{S_2} = \frac{1}{{144}}[1\;056 - 24(3{C_1} - {C_2}) - C_1^2]\\ &TP{S_2} = \frac{1}{{288}}(C_1^2 + 6{C_1}{C_2} - 5C_2^2 - 81{C_1} + 103{C_2} + 1\;280) \end{split}$
 $T{W_2} = \frac{1}{{288}}(3\;392 - 152{C_1} + 152{C_2} + 6{C_1}{C_2} - 5C_2^2)$

 图 1 购买“免押金”保险的社会福利分析 Fig. 1 Social welfare analysis of purchasing "deposit-free" insurance

5 结论与建议

a. 由于两家寡头机构垄断了高端养老服务市场，无论老人采用何种入住方式，两家高端民办养老机构均会获得超额利润；

b. 趸交“押金”入住条件下，两家高端养老机构必然会展开价格博弈，使得消费者剩余受损，但两家机构的经济利润未见大幅增加，最终使得社会福利降低；

c. 购买“免押金”保险入住条件下，消费者剩余明显高于趸交“押金”入住时的消费者剩余，且表现为随着保险服务边际成本的增加而降低，随着养老服务边际成本的增加而增加，而养老机构不会提高第一期免押金保险服务的边际成本而损失入住养老机构的“客源”，因此两家机构均会提高服务质量以吸引老人入住。与此同时，虽然两家养老机构第一期的生产者剩余有所降低，却使第二期生产者剩余增加了，从而使得两家养老机构的生产者剩余最大化，社会福利得到提高。因此，可以说“免押金”保险可以改善高端养老服务市场的社会福利。

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