上海理工大学学报  2020, Vol. 42 Issue (2): 103-107   PDF    
高阶双曲型Kac-Moody代数的极小虚根
胡建华, 刘静, 许成苏     
上海理工大学 理学院,上海 200093
摘要: 根据双曲型Kac-Moody代数的极小虚根的基本性质,结合双曲型Kac-Moody代数对应的广义Cartan矩阵的Dynkin图的特征,给出了 $n\,(5 \leqslant n \leqslant 10)$ 阶双曲型Kac-Moody代数的全部极小虚根。
关键词: Cartan矩阵     双曲型     Kac-Moody代数     极小虚根     Dynkin图    
Minimal imaginary roots of hyperbolic Kac-Moody algebra of higher order
HU Jianhua, LIU Jing, XU Chengsu     
Colloge of Science,University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China
Abstract: The basic properties of the minimal imaginary roots of the hyperbolic Kac-Moody algebra were studied. According to the character of the Dynkin diagram of the generalized Cartan matrix corresponding to the hyperbolic Kac-Moody algebra, all the minimal imaginary roots of the n-order hyperbolic type Kac-Moody algebra were listed, where $5 \leqslant n \leqslant 10$ .
Key words: Cartan matrix     hyperbolic type     Kac-Moody algebra     minimal imaginary root     Dynkin diagram    

虚根是不定型Kac-Moody代数中的一个基本概念,但其结构至今尚未完全弄清楚。双曲型Kac-Moody代数是一类特殊的不定型Kac-Moody代数,文献[1]给出了所有双曲型广义Cartan矩阵的分类,总共分为10类。双曲型Kac-Moody代数的虚根因具有一些特殊的性质而受到关注。文献[2-6]刻画了Kac-Moody代数的极小虚根的某些性质。文献[7]给出了三阶双曲型Kac-Moody代数的所有极小虚根。文献[8]给出了四阶双曲型Kac-Moody代数的所有极小虚根。本文将在此基础上,给出 $n(5 \leqslant n \leqslant 10)$ 阶双曲型Kac-Moody代数的全部极小虚根。这样所有双曲型Kac-Moody代数的极小虚根都被完全刻画出来。

1 重要定义及性质

现给出极小虚根的定义及极小虚根的基本性质,本文中提到的其他相关定义及符号参见文献[8-10]。

定义1[2]  对于 $\lambda ,\mu \in {{Q}_ + }$ ,规定 $\lambda \prec \mu \Leftrightarrow \mu - \lambda \in {{Q}_ + }$ 。在此偏序下, $\varDelta _ + ^{\rm{im}}$ 中的极小元称为极小虚根,其中, ${{Q}_ + }$ 为正根格, $\varDelta _ + ^{\rm{im}}$ 为正虚根集。

定义2[2]  对 $\delta \!\!=\!\! \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{k_i}{\alpha _i}} \! \in \!\varDelta $ ,supp $\delta \! =\! \{ {i \in \left\{ {1,2, \cdots ,} \right. }$ n} $\left| {{k_i} \ne 0} \right. \}$ $\delta \in \varDelta _ + ^{\rm{im}}$ $\delta $ 为null根,如果 $\left[ {\delta ,{\alpha _i}^ \vee } \right] = 0$ ,每一个 $i \in {\rm{supp}}\;\delta $ ,其中, $\varDelta $ 为根集。

性质1[3]   ɡ $\left( { A} \right)$ 的极小虚根的个数是有限的,ɡ $\left( { A} \right)$ 是广义Cartan矩阵GCM A对应的Kac-Moody代数。

性质2[3]   $\alpha \! \in \!\varDelta _ + ^{\rm{im}}$ $\alpha $ 是极小虚根 $\! \Leftrightarrow\! \alpha $ $\varDelta _{\rm{ + }}^{\rm{im}} \cap$ $ \left( { - {C^ \vee }} \right) $ 中的极小根。

性质3[3]  设 $\alpha \in \varDelta _ + ^{\rm{im}} \cap \left( { - {C^ \vee }} \right)$ ,并且当 $\alpha - {\alpha _i} \in $ $ {\varDelta _ + }$ 时,supp $\left( {\alpha - {\alpha _i}} \right)$ 是有限型图,那么, $\alpha $ 必为极小虚根。

性质4[7]  设 ${ A} = {\left( {{a_{ij}}} \right)_{n \times n}}$ 为广义Cartan矩阵,且对每一个 $i = 1,2, \cdots ,n$ ,满足条件 $ - \displaystyle\sum\limits_{j \ne i}^n {{a_{ij}}} \geqslant 2$ ,则 $\alpha {\rm{ = }}{\alpha _1}{\rm{ + }} \cdots {\rm{ + }}{\alpha _n},\;\alpha \in \varDelta _ + ^{\rm{im}} \cap \left( { - {C^ \vee }} \right)$

性质5[7]  双曲型Kac-Moody代数ɡ $\left( { A} \right)$ 的Dynkin图的每个Aff型连通子图确定唯一一个null的极小虚根。

性质6[7]  设 ${ A} = {\left( {{a_{ij}}} \right)_{n \times n}}$ 为双曲型广义Cartan矩阵,若Dynkin图 $S\left( { A} \right)$ 中含有 ${A_1}^{\left( 1 \right)},{A_l}^{\left( 1 \right)},D_{l + 1}^{\left( 2 \right)}\left( {l \geqslant 2} \right)$ 作为连通真子图,那么,ɡ $\left( { A} \right)$ 没有非null的极小虚根。

2 高阶双曲型Kac-Moody代数的极小虚根

文献[1]给出了所有双曲型GCM的分类,总共有238类,其中,有35个严格双曲型,双曲型GCM的阶不大于10,严格双曲型GCM的阶不大于5。现给出5~10阶双曲型GCM所对应的Kac-Moody代数的全部极小虚根。

定理1  五阶双曲型Kac-Moody代数的极小虚根如表1所示。


表 1 Kac-Moody代数的极小虚根(Ⅰ) Table 1 Minimal imaginary roots of Kac-Moody algebra(Ⅰ)

证明  五阶双曲型GCM共有22个,它们各自对应的序号及Dynkin图在文献[1]中给出。其中, $H_7^{\left( 5 \right)}$ 是严格双曲型GCM。 $H_1^{(5)},H_2^{(5)},H_3^{(5)},H_8^{(5)}$ 的Dynkin图中含有Aff型连通真子图 $A_3^{(1)}{\text{。}}H_4^{(5)},H_{16}^{(5)},$ $H_{21}^{(5)}$ 的Dynkin图中含有Aff型连通真子图 $D_4^{(2)}$ ,由性质6可知,它们没有非null的极小虚根,由性质5可知,它们的null的极小虚根均可由其Aff型连通真子图唯一确定。 $H_5^{(5)},H_6^{(5)},H_7^{(5)}$ 的Dynkin图均是圈图,它们的Cartan矩阵的各个元素满足性质4的条件,因此, $\left( {1,1,1,1,1} \right) \in \varDelta _ + ^{\rm{im}} \cap \left( { - {C^ \vee }} \right)$ 。其他的五阶双曲型GCM对应的Kac-Moody代数的极小虚根均由其对应Dynkin图的Aff型连通真子图唯一确定。下面仅以 $H_{19}^{\left( 5 \right)}$ 为例计算其极小虚根。

$H_{19}^{\left( 5 \right)}$ 的Dynkin图如图1所示。


图 1 $H_{19}^{\left( 5 \right)}$ 的Dynkin图 Fig. 1 Dynkin diagram of type of $H_{19}^{\left( 5 \right)}$

$H^{(5)}_{19} $ 的Cartan矩阵为

$\left( {\begin{array}{*{20}{r}} 2&{ - 1}&0&0&0 \\ { - 1}&2&{ - 1}&0&0 \\ 0&{ - 2}&2&{ - 1}&0 \\ 0&0&{ - 1}&2&{ - 1} \\ 0&0&0&{ - 2}&2 \end{array}} \right)$

$H_{19}^{\left( 5 \right)}$ 的四阶连通真子图中有Aff型 $A_4^{\left( 2 \right)}$ ,支集为 $\left\{ {{\alpha _2},{\alpha _3},{\alpha _4},{\alpha _5}} \right\}$ ,由性质5可知,其唯一确定一个null的极小虚根,记为 $\left( {0,1,2,2,2} \right)$ $H_{19}^{\left( 5 \right)}$ 的三阶和二阶连通真子图都是Fin型,不存在极小虚根。

现考虑支集为 $\left\{ {{\alpha _1},{\alpha _2},{\alpha _3},{\alpha _4},{\alpha _5}} \right\}$ 的虚根。设 $\alpha = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^5 {{k_i}{\alpha _i}} \in {{Q}_ + },\;{k_i} \ne 0$ ,若 $\alpha $ 是极小虚根,则有

$\left\{ \begin{array}{l} \left\langle {\alpha ,{\alpha _1}^ \vee } \right\rangle = 2{k_1} - {k_2} \leqslant 0 \\ \left\langle {\alpha ,{\alpha _2}^ \vee } \right\rangle = - {k_1} + 2{k_2} - {k_3} \leqslant 0 \\ \left\langle {\alpha ,{\alpha _3}^ \vee } \right\rangle = - 2{k_2} + 2{k_3} - {k_4} \leqslant 0 \\ \left\langle {\alpha ,{\alpha _4}^ \vee } \right\rangle = - {k_3} + 2{k_4} - {k_5} \leqslant 0 \\ \left\langle {\alpha ,{\alpha _5}^ \vee } \right\rangle = - 2{k_4} + 2{k_5} \leqslant 0 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2{k_1} \leqslant {k_2} \\ 2{k_2} \leqslant {k_1} + {k_3} \\ 2{k_3} \leqslant 2{k_2} + {k_4} \\ 2{k_4} \leqslant {k_3} + {k_5} \\ {k_5} \leqslant {k_4} \\ \end{array} \right.$

$\alpha = \left( {1,2,3,2,1} \right)$ ,则有 $\alpha \in \varDelta _ + ^{\rm{im}} \cap \left( { - {C^ \vee }} \right)$ ,对 $\varDelta _ + ^{\rm{im}} \cap \left( { - {C^ \vee }} \right)$ 中支集为 $\left\{ {{\alpha _1},{\alpha _2},{\alpha _3},{\alpha _4},{\alpha _5}} \right\}$ 的任一根 ${\alpha '} = \left( {{k_1},{k_2},{k_3},{k_4},{k_5}} \right)$ ${\alpha '} - \alpha = ( {{k_1} - 1,{k_2} - 2,{k_3} - 3,{k_4} - 2,} $ ${{k_5} - 1} ) \in {{Q}_ + }$ ,即得 $\alpha \prec {\alpha '}$ ,又因为 $\alpha - \beta \notin {{Q}_ + }$ ,所以, $\alpha $ $\alpha \in \varDelta _ + ^{\rm{im}} \cap \left( { - {C^ \vee }} \right)$ 中的极小根,由性质2可知, $\alpha = \left( {1,2,3,2,1} \right)$ $H_{19}^{\left( 5 \right)}$ 对应的Kac-Moody代数的极小虚根。故 $H_{19}^{\left( 5 \right)}$ 对应的Kac-Moody代数的极小虚根为 $\left( {0,1,2,2,2} \right),\left( {1,2,3,2,1} \right)$ ,且均是null的。

定理2  六阶双曲型Kac-Moody代数的极小虚根如表2所示。


表 2 Kac-Moody代数的极小虚根(Ⅱ) Table 2 Minimal imaginary roots of Kac-Moody algebra(Ⅱ)

证明  六阶双曲型GCM共有22个,它们各自对应的序号及Dynkin图在文献[1]中给出。 $H_1^{\left( 6 \right)}$ 的Dynkin图中含有Aff型连通真子图 $A_4^{\left( 1 \right)}$ $H_2^{(6)},H_{13}^{(6)},H_{16}^{(6)}$ 的Dynkin图中含有Aff型连通真子图 $D_5^{(2)}$ ,由性质6可知,它们没有非null的极小虚根,由性质5可知,它们的null的极小虚根均可由其Aff型连通真子图唯一确定。 $H_3^{(6)},H_4^{(6)}$ 的Dynkin图均是圈图,它们的Cartan矩阵的各个元素满足性质4的条件,因此, $ \left( {1,1,1,1,1,1} \right) \in\varDelta _ + ^{\rm{im}} \cap$ $ \left( { - {C^ \vee }} \right)$ 。其他的六阶双曲型GCM对应的Kac-Moody代数的极小虚根均由其对应Dynkin图的Aff型连通真子图唯一确定。下面仅以 $H_9^{\left( 6 \right)}$ 为例计算其极小虚根。

$H_9^{\left( 6 \right)}$ 的Dynkin图如图2所示。


图 2 $H_9^{\left( 6 \right)}$ 的Dynkin图 Fig. 2 Dynkin diagram of type of $H_9^{\left( 6 \right)}$

$H^{(6)}_{9} $ 的Cartan矩阵为

$\left( {\begin{array}{*{20}{r}} 2&0&{ - 1}&0&0&0 \\ 0&2&{ - 1}&0&0&0 \\ { - 1}&{ - 1}&2&{ - 1}&0&0 \\ 0&0&{ - 1}&2&{ - 1}&0 \\ 0&0&0&{ - 2}&2&{ - 1} \\ 0&0&0&0&{ - 1}&2 \end{array}} \right)$

$H_9^{\left( 6 \right)}$ 的五阶连通真子图中有Aff型 $B_4^{\left( 1 \right)}$ ,支集为 $\left\{ {{\alpha _1},{\alpha _2},{\alpha _3},{\alpha _4},{\alpha _5}} \right\}$ ,还有2个Aff型 $F_4^{\left( 1 \right)}$ ,支集分别为 $\left\{ {{\alpha _1},{\alpha _3},{\alpha _4},{\alpha _5},{\alpha _6}} \right\}$ $\left\{ {{\alpha _2},{\alpha _3},{\alpha _4},{\alpha _5},{\alpha _6}} \right\}$ ,由性质5可知,它们分别唯一确定一个null的极小虚根,记为 ${\beta _1}\! =\! \left( {1,1,2,2,2,0} \right)$ ${\beta _2} \!=\! \left( {1,0,2,3,4,2} \right)$ ${\beta _3} \!=\! \left( {0,1,2,3,4,2} \right)$ $H_9^{\left( 6 \right)}$ 的四阶、三阶及二阶连通真子图均是Fin型,不存在极小虚根。

考虑支集为 $\left\{ {{\alpha _1},{\alpha _2},{\alpha _3},{\alpha _4},{\alpha _5},{\alpha _6}} \right\}$ 的极小虚根。设 $\alpha = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^6 {{k_i}{\alpha _i}} \in {{Q}_ + },\;{k_i} \ne 0$ ,若 $\alpha $ 是极小虚根,则有

$\left\{ \begin{array}{l} \!\!\! \left\langle {\alpha ,{\alpha _1}^ \vee } \right\rangle = 2{k_1} - {k_3} \leqslant 0 \\ \!\!\! \left\langle {\alpha ,{\alpha _2}^ \vee } \right\rangle = 2{k_2} - {k_3} \leqslant 0 \\ \!\!\! \left\langle {\alpha ,{\alpha _3}^ \vee } \right\rangle = - {k_1} - {k_2} + 2{k_3} - {k_4} \leqslant 0 \\ \!\!\!\left\langle {\alpha ,{\alpha _4}^ \vee } \right\rangle = - {k_3} + 2{k_4} - {k_5} \leqslant 0 \\ \!\!\!\left\langle {\alpha ,{\alpha _5}^ \vee } \right\rangle = - 2{k_4} + 2{k_5} - {k_6} \leqslant 0 \\ \!\!\! \left\langle {\alpha ,{\alpha _6}^ \vee } \right\rangle = - {k_5} + 2{k_6} \leqslant 0 \\ \end{array} \right. \!\!\!\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \!\!\! 2{k_1} \leqslant {k_3} \\ \!\!\! 2{k_2} \leqslant {k_3} \\ \!\!\! 2{k_3} \leqslant {k_1} + {k_2} + {k_4} \\ \!\!\! 2{k_4} \leqslant {k_3} + {k_5} \\ \!\!\! 2{k_5} \leqslant \!\!\!2{k_4} + {k_6} \\ 2{k_6} \leqslant {k_5} \\ \end{array} \right.$

$\alpha = \left( {1,1,2,2,2,1} \right)$ ,有 $\alpha \in \varDelta _ + ^{\rm{im}} \cap \left( { - {C^ \vee }} \right)$ ,对 $\varDelta _ + ^{im} \cap $ $\left( { - {C^ \vee }} \right)$ 中支集为 $\left\{ {{\alpha _1},{\alpha _2},{\alpha _3},{\alpha _4},{\alpha _5},{\alpha _6}} \right\}$ 的任一根 ${\alpha '} = \left( {{k_1},{k_2},{k_3},{k_4},{k_5},{k_6}} \right)$ ${\alpha '} - \alpha = $ $( {k_1} - 1,{k_2} - 1,{k_3} - 2,$ ${k_4} - 2, {k_5} - 2,{k_6} - 1 )$ $ \in {{Q}_ + }$ $ \Rightarrow \alpha \prec {\alpha '}$ ,但 $\alpha - {\beta _1} \in {{Q}_ + }$ ,故 $\alpha $ 不是 $H_9^{\left( 6 \right)}$ 对应的Kac-Moody代数的极小虚根。故 $H_9^{\left( 6 \right)}$ 对应的Kac-Moody代数的极小虚根为 $\left( {1,1,2,2,2,0} \right)$ $\left( {1,0,2,3,4,2} \right)$ $\left( {0,1,2,3,4,2} \right)$ ,且都是null的。

定理3  七阶双曲型Kac-Moody代数的极小虚根如表3所示。


表 3 Kac-Moody代数的极小虚根(Ⅲ) Table 3 Minimal imaginary roots of Kac-Moody algebra(Ⅲ)

证明  七阶双曲型GCM共有4个,其中, $H_4^{(7)}$ 的Dynkin图中含有Aff型连通真子图 $A_5^{(1)}$ ,因而由性质6可知,它没有非null的极小虚根。剩下的3个七阶双曲型GCM对应的Kac-Moody代数的极小虚根均由其对应的Dynkin图的Aff型连通真子图唯一确定。下面仅以 $H_1^{(7)}$ 为例计算其极小虚根。

$H_1^{(7)}$ 的Dynkin图如图3所示。


图 3 $H_1^{\left( 7 \right)}$ 的Dynkin图 Fig. 3 Dynkin diagram of type of $H_1^{\left( 7 \right)}$

$H^{(7)}_1 $ 的Cartan矩阵为

$\left( {\begin{array}{*{20}{r}} 2&{ - 1}&0&0&0&0&0 \\ { - 1}&2&0&{ - 1}&0&0&0 \\ 0&0&2&{ - 1}&0&0&0 \\ 0&{ - 1}&{ - 1}&2&0&{ - 1}&0 \\ 0&0&0&0&2&{ - 1}&0 \\ 0&0&0&{ - 1}&{ - 1}&2&{ - 1} \\ 0&0&0&0&0&{ - 1}&2 \end{array}} \right)$

$H_1^{\left( 7 \right)}$ 的六阶真子图中有Aff型 $D_4^{\left( 1 \right)}$ ,支集为 $\left\{ {{\alpha _2},{\alpha _3},{\alpha _4},{\alpha _5},{\alpha _6},{\alpha _7}} \right\}$ ,由性质5可知,它唯一确定一个null的极小虚根,记为 $\beta = \left( {0,1,1,2,1,2,1} \right)$ $H_1^{\left( 7 \right)}$ 的低于六阶的真子图均为Fin型,不存在极小虚根。

现考虑支集为 $\left\{ {{\alpha _1},{\alpha _2},{\alpha _3},{\alpha _4},{\alpha _5},{\alpha _6},{\alpha _7}} \right\}$ 的虚根。设 $\alpha = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^7 {{k_i}{\alpha _i}} \in {{Q}_ + },\;{k_i} \ne 0$ ,若 $\alpha $ 是极小虚根,则有

$ \left\{ \begin{array}{l} \!\!\! \left\langle {\alpha ,{\alpha _1}^ \vee } \right\rangle = 2{k_1} - {k_2} \leqslant 0 \\ \!\!\! \left\langle {\alpha ,{\alpha _2}^ \vee } \right\rangle = - {k_1} + 2{k_2} - {k_4} \leqslant 0 \\ \!\!\!\left\langle {\alpha ,{\alpha _3}^ \vee } \right\rangle = 2{k_3} - {k_4} \leqslant 0 \\ \!\!\! \left\langle {\alpha ,{\alpha _4}^ \vee } \right\rangle = - {k_2} - {k_3} + 2{k_4} - {k_6} \leqslant 0 \\ \!\!\!\left\langle {\alpha ,{\alpha _5}^ \vee } \right\rangle = 2{k_5} - {k_6} \leqslant 0 \\ \!\!\! \left\langle {\alpha ,{\alpha _6}^ \vee } \right\rangle = - {k_4} - {k_5} + 2{k_6} - {k_7} \leqslant 0 \\ \!\!\!\left\langle {\alpha ,{\alpha _7}^ \vee } \right\rangle = - {k_6} + 2{k_7} \leqslant 0 \\ \end{array} \right. \!\!\!\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \!\!\! 2{k_1} \leqslant {k_2}, \\ \!\!\! 2{k_2} \leqslant {k_1} + {k_4}, \\ \!\!\! 2{k_3} \leqslant {k_4}, \\ \!\!\!2{k_4} \leqslant {k_2} + {k_3} + {k_6} \\ \!\!\! 2{k_5} \leqslant {k_6}, \\ \!\!\!2{k_6} \leqslant {k_4} + {k_5} + {k_7} \\ \!\!\! 2{k_7} \leqslant {k_6} \\ \end{array} \right. $

$\alpha = \left( {1,2,2,4,2,4,2} \right)$ $\alpha \in \varDelta _ + ^{\rm{im}} \cap \left( { - {C^ \vee }} \right)$ ,对 $\varDelta _ + ^{\rm{im}} \cap $ $ \left( { - {C^ \vee }} \right)$ 中支集为 $\left\{ {{\alpha _1},{\alpha _2}, \cdots ,{\alpha _7}} \right\}$ 的根 ${\alpha '} = \left( {{k_1}, \cdots ,{k_7}} \right), $ ${\alpha '} - \alpha = \left( {{k_1} - 1,{k_2} - 2,{k_3} - 2,{k_4} - 4,{k_5} - 2,{k_6} - 4,{k_7} - 2} \right) \in $ $ {{Q}_ + } \Rightarrow \alpha \prec {\alpha '}$ 。但 $\alpha - \beta \in {{Q}_ + }$ ,故 $\alpha $ 不是 $H_1^{\left( 7 \right)}$ 对应的Kac-Moody代数的极小虚根。故 $H_1^{\left( 7 \right)}$ 对应的Kac-Moody代数的极小虚根为 $\left( {0,1,1,2,1,2,1} \right)$ ,且是null的。

定理4  八阶双曲型Kac-Moody代数的极小虚根如表4所示。


表 4 Kac-Moody代数的极小虚根(Ⅳ) Table 4 Minimal imaginary roots of Kac-Moody algebra(Ⅳ)

定理5  九阶双曲型Kac-Moody代数的极小虚根如表5所示。


表 5 Kac-Moody代数的极小虚根(Ⅴ) Table 5 Minimal imaginary roots of Kac-Moody algebra(Ⅴ)

定理6  十阶双曲型Kac-Moody代数的极小虚根如表6所示。


表 6 Kac-Moody代数的极小虚根(Ⅵ) Table 6 Minimal imaginary roots of Kac-Moody algebra(Ⅵ)

定理4~6的证明过程与定理1~3的证明过程类似,这里不再证明。

至此, $n\left( {5 \leqslant n \leqslant 10} \right)$ 阶双曲型Kac-Moody代数的极小虚根已经全部给出,再结合文献[5, 7-8],双曲型Kac-Moody代数的极小虚根就全部给出了。

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