上海理工大学学报  2020, Vol. 42 Issue (3): 220-223   PDF    
三维实李代数的分类
胡建华, 栗菲菲, 刘静     
上海理工大学 理学院,上海 200093
摘要: 根据李代数的导代数的性质及同构条件完成三维实李代数的分类。当导代数维数为0和1时,由李括号运算的性质及基的变换可将李代数分为三类: $ L\left( {3,0} \right)$ $ L\left( {3, - 1} \right)$ $ L\left( {3,1} \right)$ 。当导代数维数为2和3时,根据内导子对应矩阵特征值的性质可将李代数分为五类: $ L\left( {3,2,a} \right)$ $ L\left( {3,3} \right)$ $ L\left( {3,4,c} \right)$ $ L\left( {3,5} \right)$ $ L\left( {3,6} \right)$
关键词: 李代数     导代数     同构    
Classification of three-dimensional real Lie algebra
HU Jianhua, LI Feifei, LIU Jing     
College of Science, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China
Abstract: The classification of three-dimensional real Lie algebra was completed according to the properties of derivative algebras and isomorphic conditions of Lie algebra. When the dimension of derivative algebra is 0 or 1, Lie algebra can be divided into three types, $ L\left( {3,0} \right)$ , $ L\left( {3, - 1} \right)$ and $ L\left( {3,1} \right)$ , according to the properties of Lie bracket operation and the transformation of basis.When the dimension of derivative algebra is 2 or 3, Lie algebras can be divided into five types, $ L\left( {3,2,a} \right)$ , $ L\left( {3,3} \right)$ , $ L\left( {3,4,c} \right)$ , $ L\left( {3,5} \right)$ , $ L\left( {3,6} \right)$ , according to the properties of eigenvalues of matrix corresponding to internal derivations.
Key words: Lie algebra     derivative algebra     isomorphism    

李代数的分类问题是李代数结构理论的核心内容。经典的李代数理论[1-3]利用根系理论完整地给出了特征为0的代数闭域上的有限维半单李代数分类。但对于特征为 $p$ 或非代数闭域上的李代数分类还有许多未解决的问题。而对于这些李代数的研究,总是从低维开始的。文献[4-7]利用同构定理研究了低维的可解李代数和幂零李代数分类问题。实数域是特征为0的数域,但它是非代数闭域,因此,实李代数的结构与复李代数的完全不同。本文研究三维实李代数的分类问题,利用同构定理,根据导代数的维数[8-10]给出三维实李代数的完整分类。

1 基础知识

定义1[1]  设L是域F上的向量空间,定义一个李乘运算(记为 $\left[ { \cdot , \cdot } \right]$ ):对 $\forall x,y \in L$ ,有 $\left[ {x,y} \right] \in L$ ,且满足:

a. $ \left[ {{\lambda _1}{x_1} + {\lambda _2}{x_2},y} \right] = {\lambda _1}\left[ {{x_1},y} \right] + {\lambda _2}\left[ {{x_2},y} \right],\forall {\lambda _1},{\lambda _2} \in F, {x_1},{x_2},y \in L$

b. $ \left[ {x,x} \right] = 0,\forall x \in L$

c. $ \left[ {x,\left[ {y,z} \right]} \right] + \left[ {y,\left[ {z,x} \right]} \right] + \left[ {z,\left[ {x,y} \right]} \right] = 0,\forall x,y,z \in L$

就称L为域F上的李代数。

定义2[1]  设L是一李代数, $\left[ {L,L} \right]$ 是李代数的子代数,称为L的导代数,记为 $L'$

${\rm{ad}}\;x:L \to L$ 为伴随表示,可诱导出线性表示 ${\rm{ad}}\;x:L' \to L'$ ${\rm{ad}}\;x$ 称为内导子。

引理1  对任意 $Y \in L'$ ${\rm{tr}}\left( {{\rm{ad}}\;Y} \right) = 0$

证明  因为, $ Y\! \in\! L'$ ,存在 $ {Y_1},{Y_2}\! \in \!L$ ,使 $ \left[ {{Y_1},{Y_2}} \right] \!=\! Y$ ,所以,

$ \begin{split} {\rm{ad}}\;Y =& {\rm{ad}}\;[{Y_1},{Y_2}] = \left[ {{\rm{ad}}\;{Y_1},{\rm{ad}}\;{Y_2}} \right] =\\ & {\rm{ad}}\;{Y_1}\;{\rm{ad}}\;{Y_2} -{\rm{ad}}\;{Y_2}\;{\rm{ad}}\;{Y_1} {\rm{tr}}\left( {{\rm{ad}}\;Y} \right) =\\ & {\rm{tr}}\left( {{\rm{ad}}\;{Y_1}\;{\rm{ad}}\;{Y_2}} \right) - {\rm{tr}}\left( {{\rm{ad}}\;{Y_2}\;{\rm{ad}}\;{Y_1}} \right) = 0 \end{split} $

定理1[1]  令 ${L_1}$ ${L_2}$ 是2个 $n$ 维李代数, $n < \infty $ ,若它们存在一组对应基,其对应的结构常数相等,则 ${L_1}$ ${L_2}$ 同构。

同构的2个李代数,它们的导代数的维数相同。

文献[1,3]在同构意义下给出了一维、二维实李代数的分类。一维实李代数只有一类, $L = {\rm{span}}\left\{ {{e_1}} \right\}$ ,是交换李代数,满足 $\left[ {{e_1},{e_1}} \right] = 0$ ,记为 $L\left( {1,0} \right)$ 。二维实李代数 $L = {\rm{span}}\left\{ {{e_1},{e_2}} \right\}$ 有两类。一类是交换的,满足 $\left[ {{e_1},{e_2}} \right] = 0$ ,记为 $L\left( {2,0} \right)$ ;另一类是非交换的,满足 $\left[ {{e_1},{e_2}} \right] = {e_1}$ ,记为 $L\left( {2,1} \right)$

现根据导代数的维数分别讨论三维实李代数在同构意义下的分类。

2 三维实李代数的分类 2.1 导代数维数为0和1

若导代数L′是0维的,即 $\dim\; L' = 0$ ,则 $L = {\rm{span}}\;\left\{ {{e_1},{e_2},{e_3}} \right\}$ 为交换李代数, $\left[ {L,L} \right] = 0$ ,满足 $\left[ {{e_1},{e_2}} \right] = 0$ $\left[ {{e_1},{e_3}} \right] = 0$ $\left[ {{e_2},{e_3}} \right] = 0$ ,记为 $L\left( {3,0} \right)$

若导代数L′为1维的,即 $\dim\; L' = 1$ ,则存在非零元素 ${X_1} \in L'$ ,使得 $L' = {\rm{span}}\;\left\{ {{X_1}} \right\}$ 。将 ${X_1}$ 扩张成 $L$ 的一组基 $\left\{ {{X_1},{X_2},{X_3}} \right\}$ ,则存在不全为零的数 $a,b,c \in {\bf R}$ 使

$ \left[ {{X_1},{X_2}} \right] = a{X_1}, \left[ {{X_1},{X_3}} \right] = b{X_1}, \left[ {{X_2},{X_3}} \right] = c{X_1} $

假设 $a \ne 0$ 。构造一组新的基 ${e_1} = {X_1}, {e_2} = \dfrac{1}{a}{X_2}, {e_3} = a{X_3} - b{X_2} + c{X_1}$ ,则有 $\left[ {{e_1},{e_2}} \right] = {e_1}$ $\left[ {{e_1},{e_3}} \right] = 0$ $\left[ {{e_2},{e_3}} \right] = 0$ ,该李代数可以看作两李代数的直和 $ L\left( {2,1} \right) \oplus L\left( {1,0} \right)$ ,记为 $L\left( {3, - 1} \right)$ 。当 $b \ne 0$ 时,交换 ${X_2}$ ${X_3}$ ,经计算可以得到相同李代数。若 $c \ne 0, a = b = 0$ 。令 ${e_1} = {X_2},\;{e_2} = {X_3},\;{e_3} = c{X_1}$ ,则 $\left[ {{e_1},{e_2}} \right] = {e_3}$ $\left[ {{e_1},{e_3}} \right] = 0$ $\left[ {{e_2},{e_3}} \right] = 0$ 。将满足该运算的李代数记为 $ L\left( {3,1} \right)$

2.2 导代数维数为2

若导代数L′是2维的,即 $\dim\; L' = 2$ ,构造L′的一组基 $\left\{ {Y,Z} \right\}$ ,扩充为L′的一组基 $\left\{ {X,Y,Z} \right\}$ 。设 $\left[ {Y,Z} \right] = \alpha Y + \beta Z,\,\alpha ,\,\beta \in {\bf R}$ ,考虑 ${\rm{ad}}\;Y:L' \to L'$ ${\rm{ad}}\;Z:L' \to L'$ 在基 $\left\{ {Y,Z} \right\}$ 下的矩阵

$ {\left( {{\rm{ad}}\;Y} \right)_{\left\{ {Y,Z} \right\}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&\alpha \\ 0&\beta \end{array}} \right),\;{\left( {{\rm{ad}}\;Z} \right)_{\left\{ {Y,Z} \right\}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - \alpha }&0 \\ { - \beta }&0 \end{array}} \right) $

由引理1可知, $\beta = 0$ $\alpha = 0$ ,所以,有 $\left[ {Y,Z} \right] = 0$ ,故 $\left[ {X,Y} \right] \ne 0$ $\left[ {X,Z} \right] \ne 0$ 。因此, ${\rm{ad}}\;X:L' \to L'$ 为同构映射,即 ${\rm{ad}}\;X$ 是可逆的,其特征值必不为零,现分3种情况讨论。

a. $ {\rm{ad}}\;X$ 有2个不同的实特征值。

${\lambda _1},{\lambda _2}$ ${\rm{ad}}\;X$ 的2个不同的实特征值,则 ${\rm{ad}}\;X$ 在实数域上可对角化,

${\left( {{\rm{ad}}\;X} \right)_{\left\{ {Y,Z} \right\}}} \sim \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\lambda _1}}&0 \\ 0&{{\lambda _2}} \end{array}} \right)$

因此,在L′中存在一组基 $\left\{ {{e_1},{e_2}} \right\}$ ,使得 ${\rm{ad}}\;X \cdot {e_1} = \left[ {X,{e_1}} \right] = {\lambda _1}{e_1}$ ${\rm{ad}}\;X \cdot {e_2} = \left[ {X,{e_2}} \right] = {\lambda _2}{e_2}$ $\left[ {{e_1},{e_2}} \right] = 0$ 。令 ${e_3} = - \dfrac{1}{{{\lambda _1}}}X$ ,则有 $\left[ {{e_1},{e_2}} \right] = 0$ $\left[ {{e_1},{e_3}} \right] = {e_1}$ $\left[ {{e_2},{e_3}} \right] = \dfrac{{{\lambda _2}}}{{{\lambda _1}}}{e_2}$ 。令 $a = \dfrac{{{\lambda _2}}}{{{\lambda _1}}}$ $a \ne 0$ ,则有 $\left[ {{e_1},{e_2}} \right] = 0,\;\left[ {{e_1},{e_3}} \right] = {e_1}, \left[ {{e_2},{e_3}} \right] = a{e_2}$ 。将满足此运算的李代数记为 $L\left( {3,2,a} \right)$

命题1  三维实李代数 $L\left( {3,2,a} \right)$ $L\left( {3,2,a'} \right)$ 同构的充要条件是 $a = a'$ $a = \dfrac{1}{{a'}}$

证明  只需证 $L\left( {3,2,a} \right) \cong L\left( {3,2,\dfrac{1}{a}} \right)$ 的情况。设 $L\left( {3,2,\dfrac{1}{a}} \right)$ 的基为 $\left\{ {{e_1},{e_2},{e_3}} \right\}$ ,满足 $\left[ {{e_1},{e_2}} \right] = 0,\;\left[ {{e_1},{e_3}} \right] = {e_1},\; \left[ {{e_2},{e_3}} \right] = \dfrac{1}{a}{e_2},\;a \ne 0$ 。构造一组新基: ${e_1}' = {e_2}, {e_2}' = {e_1},\;{e_3}' = x{e_3}$ ,则有 $\left[ {{e_1}',{e_2}'} \right] = 0$ $\left[ {{e_1}',{e_3}'} \right] = {e_1}'$ $\left[ {{e_2}',{e_3}'} \right] \!\!=\!\! a{e_2}'$ ,即 $L\left( {3,2,a} \right) \cong L\!\left( {3,2,\!\dfrac{1}{a}} \right)$ 。所以, $L\left( {3,2,a} \right)$ 中的 $a$ 只需满足 $0 < \left| a \right| \leqslant 1$

b. $ {\rm{ad}}\;X$ 有1个重数为2的实特征值。

假设 ${\rm{ad}}\;X$ 中重数为 $2$ 的实特征值为 $\lambda $ ,若 ${\rm{ad}}\;X$ 可对角化,即

${\left( {{\rm{ad}}\;X} \right)_{\left\{ {Y,Z} \right\}}} \sim \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \lambda &0 \\ 0&\lambda \end{array}} \right)$

则在L′中必存在一组基 $\left\{ {{e_1},{e_2}} \right\}$ ,使得 ${\rm{ad}}\;X \cdot {e_1} = \left[ {X,{e_1}} \right] = \lambda {e_1}$ ${\rm{ad}}\;X \cdot {e_2} = \left[ {X,{e_2}} \right] = \lambda {e_2}$ $\left[ {{e_1},{e_2}} \right] = 0$ 。令 ${e_3} = - \dfrac{1}{\lambda }X$ ,则有 $\left[ {{e_1},{e_2}} \right] = 0,\;\left[ {{e_1},{e_3}} \right] = {e_1},\; \left[ {{e_2},{e_3}} \right] = {e_2}$ ,即 $L\left( {3,2,1} \right)$ ,所以,该李代数 $L \subset L\left( {3,2,a} \right)$

${\rm{ad}}\;X$ 不可对角化,即

${\left( {{\rm{ad}}\;X} \right)_{\left\{ {Y,Z} \right\}}} \sim \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \lambda &1 \\ 0&\lambda \end{array}} \right)$

因此,存在一组基 $\left\{ {{e_1},{e_2}} \right\}$ ,使得 ${\rm{ad}}\;X \cdot {e_1} = \left[ {X,{e_1}} \right] = \lambda {e_1}$ ${\rm{ad}}\;X \cdot {e_2} = \left[ {X,{e_2}} \right] = {e_1} + \lambda {e_2}$ $\left[ {{e_1},{e_2}} \right] = 0$ 。令 ${e_3}' = - \dfrac{1}{\lambda }X,\;{e_1}' = \dfrac{1}{\lambda }{e_1},\;{e_2}' = {e_2}$ ,有 $\left[ {{e_1}',{e_2}'} \right] = 0$ $\left[ {{e_1}',{e_3}'} \right] = {e_1}'$ $\left[ {{e_2}',{e_3}'} \right] = {e_1}' + {e_2}'$ ,将满足此运算的李代数记为 $L\left( {3,3} \right)$

c. ${\rm{ad}}\;X$ 有2个复共轭特征值。

因为实多项式的虚根共轭成对出现,设 ${\rm{ad}}\;X$ 的2个复共轭特征值分别为 $\lambda ,\overline \lambda $ ,则 ${\rm{ad}}\;X$ 在复数域上是可对角化的,有

${\left( {{\rm{ad}}\;X} \right)_{\left\{ {Y,Z} \right\}}} \sim \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \lambda &0 \\ 0&{\overline \lambda } \end{array}} \right)$

因此,存在 ${e_1},{e_2} \in L'$ ,使得 $\left( {{\rm{ad}}\;X} \right)\left( {{e_1} + {\rm{i}}{e_2}} \right) = \lambda \left( {{e_1} + {\rm{i}}{e_2}} \right)$ 。令 $\lambda = a + {\rm{i}}b,\;a,b \in {\bf R},\;b \ne 0$ ,不妨设 $a,b$ 同号,否则,取 $\overline \lambda $ 即可。因为, $\left( {{\rm{ad}}\;X} \right)\left( {{e_1} + {\rm{i}}{e_2}} \right) = {\rm{ad}}\;X \cdot {e_1} + {\rm{i}}{\rm{ad}}\;X \cdot {e_2}$ ,并且有 $\lambda \left( {{e_1} + {\rm{i}}{e_2}} \right) = a{e_1} - b{e_2} + {\rm{i}}\left( {a{e_2} + b{e_1}} \right)$ ,所以,得到 ${\rm{ad}}\;X \cdot {e_1} = a{e_1} - b{e_2}$ ${\rm{ad}}\;X \cdot {e_2} = b{e_1} + a{e_2}$ 。令 $X' = \dfrac{1}{b}X$ ,则有 ${\rm{ad}}\dfrac{1}{b}X \cdot {e_1} = \dfrac{a}{b}{e_1} - {e_2},{\rm{ad}}\dfrac{1}{b}X \cdot {e_2} = {e_1} + \dfrac{a}{b}{e_2}$ 。构造一组新的基,令 ${e_3} = - \dfrac{1}{b}X$ $c = \dfrac{a}{b}$ $c \geqslant 0$ ,则有 $\left[ {{e_1},{e_2}} \right] = 0,\;\left[ {{e_1},{e_3}} \right] = c{e_1} - {e_2},\;\left[ {{e_2},{e_3}} \right] = {e_1} + c{e_2}$ ,将满足此运算的李代数记为 $L\left( {3,4,c} \right)$

命题2  李代数 $L\left( {3,4,c} \right) \cong L\left( {3,4,c'} \right)$ ,当且仅当 $c = c'$

情况c的分类结果与扩基时选取的 $X$ 无关。

$\left\{ {{X_1},Y,Z} \right\}$ L的一组基,则 ${\rm{ad}}\;{X_1}:L' \to L'$ 为同构的,若L中存在另一组基 $\left\{ {{X_2},Y,Z} \right\}$ ,令 ${X_2} = k{X_1} + lY + mZ$ ,则有 ${\rm{ad}}\;{X_2} = k{\rm{ad}}\;{X_1} + l{\rm{ad}}\;Y + m{\rm{ad}}\;Z$ ,因此,有 ${\rm{ad}}\;{X_2}\left| {_{L'} = } \right.k{\rm{ad}}\;{X_1}\left| {_{L'}} \right.$ ,它们的特征值仅相差 $k$ 倍,故选取不同扩基时,情况a中的 $a = \dfrac{{{\lambda _2}}}{{{\lambda _1}}}$ 和情况c中的 $c = \dfrac{a}{b}$ 不变,情况b中的结论与特征值无关。

若取 $\lambda = a + {\rm{i}}b$ $a,b$ 的符号相反,可得李代数 $L\left( {3,4, - c} \right),\;c < 0$ ,因此, $L\left( {3,4, - c} \right) \cong L\left( {3,4,c} \right)$

这里 ${\rm{ad}}\;X$ 只能在复数域上可对角化,在实数域上不能对角化,从而在实数域上 $L\left( {3,2,a} \right)$ 不同构于 $L\left( {3,4,c} \right)$ 。但在复数域上,对于给定的 $c$ ,有 $L\left( {3,4,c} \right) \cong L\left( {3,2,\dfrac{{c - {\rm{i}}}}{{c + {\rm{i}}}}} \right)$ 。令 ${e_1}' = {e_1} + {\rm{i}}{e_2}, \;{e_2}' = {e_1} - {\rm i}{e_2}, {e_3}' = \dfrac{1}{{c + {\rm{i}}}}{e_3}$ ,经计算可得 $\left[ {{e_1}',{e_2}'} \right] = 0$ $\left[ {{e_1}',{e_3}'} \right] = {e_1}'$ $\left[ {{e_2}',{e_3}'} \right] = \dfrac{{c - {\rm{i}}}}{{c + {\rm{i}}}}{e_2}'$ 。由于 $c \in {\bf R}$ ,且 $\left| {\dfrac{{c - {\rm{i}}}}{{c + {\rm{i}}}}} \right| = 1$ ,该李括号运算满足 $L\left( {3,2,a} \right)$ 的运算。

2.3 导代数维数为3

若导代数L′的维数为3,即 $\dim\;L' = 3$ ,取L的一组基 $\left\{ {X',Y',Z'} \right\}$ 。因为, $\dim\; L' = 3$ ,所以, $\left[ {X',Y'} \right],\left[ {X',Z'} \right],\left[ {Y',Z'} \right]$ 线性无关。因为,每一个基元素出现2次,所以, ${\rm{ad}}\;X',{\rm{ad}}\;Y',{\rm{ad}}\;Z'$ 的秩为 $2$ ,从而对任意 ${ H} \in L$ ,内导子 ${\rm{ad}}\;{ H}$ 的秩为2维。

引理2  设3维李代数L的导代数维数为3,若 ${\rm{ad}}\;H$ 有2个实特征值,则必存在某 ${ H}' \in L$ ,使得 ${\rm{ad}}\;{ H}'$ 有非零特征值。

证明  若 ${\rm{ad}}\;{ H}$ 有非零特征值,结论显然成立。

${\rm{ad}}\;{ H}$ 的特征值全为零,则 ${\rm{ad}}\;{ H}$ 是幂零的,即存在一组基 $ B:{ H},{{ H}'},{{ H}''}$ ,使得

${\left( {{\rm{ad}}\;{{H}}} \right)_B} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&a&b \\ 0&0&c \\ 0&0&0 \end{array}} \right),\;a,c \ne 0$

${\rm{ad}}\;{ H} \cdot { H}' = a{ H} \Rightarrow \left( {{\rm{ad}}\;{ H}'} \right){ H} = - a{ H}$ ,所以, ${ H}$ ${\rm{ad}}\;{ H}'$ 的非零特征值 $ - a$ 的特征向量。

a. ${\rm{ad}}\; { H}$ 有2个实特征值。

由引理2,不妨设 ${\rm{ad}}\;{ H}$ 有非零特征值为 $\lambda $ ${ M}$ 为其对应的特征向量,即 ${\rm{ad}}\;{ H} \cdot { M} = \lambda { M}$ 。因为, $L' = L$ ,即 ${{H}} \in L'$ 。因此,有 ${\rm{tr}}\;\left( {{\rm{ad}}\;{ H}} \right) = 0$ 。所以,必存在向量 ${ N}$ 使得 ${\rm{ad}}\;{ H} \cdot{ N }= - \lambda { N}$

${\left( {{\rm{ad}}\;{{H}}} \right)_{\left\{ {{ M},{ N}} \right\}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \lambda &0 \\ 0&{ - \lambda } \end{array}} \right)$

由Jacobi等式可知, $\left[ {{ H},\left[ {{ M},{ N}} \right]} \right] = - \left[ {{ M},\left[ {{ N},{ H}} \right]} \right] - \left[ {{ N},\left[ {{ H},{ M}} \right]} \right] = 0$ 。又 $\left[ {{ H},{ H}} \right] = 0$ ,所以,有 $\ker \;\left( {{\rm{ad}}\;{ H}} \right) = {\rm{span}}\;\left\{ { H} \right\}$ ,设 $\left[ {{ M},{ N}} \right]\! = \!d{ H},d\! \ne\! 0$ 。令 ${ M}' \!=\! \dfrac{1}{{\lambda d}}{ M},{ N}' \!=\! { N}, { H}' \!=\! \dfrac{1}{\lambda }{ H}$ ,则有 $\left[ {{ M}',{ N}'} \right] \!=\! { H}',\left[ {{ M}',{ H}'} \right] \!=\! - { M}', \left[ {{ N}', { H}'} \right] \!= { N}'$ 。再令 ${e_1} = { N}',{e_2} = { H}',{e_3} = 2{ M}'$ ,则有 $\left[ {{e_1},{e_2}} \right] = {e_1}, \left[ {{e_1},{e_3}} \right] = - 2{e_2},\left[ {{e_2},{e_3}} \right] = {e_3}$ ,将满足该运算的李代数记为 $L\left( {3,5} \right)$

b. $ {\rm{ad}}\;{ H}$ 有一对共轭特征值。

${\rm{ad}}\;{ H}$ 的共轭特征值为 $\lambda $ $\overline \lambda $ 。由 ${\rm{tr}}\;\left( {{\rm{ad}}\;{ H}} \right) = 0$ 可知 $\lambda + \overline \lambda = 0$ ,故 $\lambda $ 为纯虚数。设 $\lambda = m{\rm{i}},m \ne 0 \in {\bf R}$ 且不妨设 $m > 0$ ,则存在 ${ M} + {\rm{i}}{ N}$ ,使 $\left( {{\rm{ad}}\;{ H}} \right)\left( {{ M} + {\rm{i}}{ N}} \right) = {\rm{i}}m\left( {{ M} + {\rm{i}}{ N}} \right)$ ,即 $\left[ {{ H},{ M} + {\rm{i}}{ N}} \right] = - m{ N} + {\rm{i}}m{ M} = \left[ {{ H},{ M}} \right] + {\rm{i}}\left[ {{ H},{ N}} \right]$ ,因此,有 $\left[ {{ H},{ N}} \right] = m{ M},\left[ {{ H},{ M}} \right] = - m{ N}$ 。又因为, $\left[ {{ M},{ N}} \right] \in \ker \left( {{\rm{ad}}\;{ H}} \right) = {\rm{span}}\left\{ { H} \right\}$ ,设 $\left[ {{{M}},{{N}}} \right] = l{{H}},l \ne 0$ 。令 ${{M}}' = \dfrac{1}{{\sqrt {\left| {ml} \right|} }}{{M}}$ ${{N}}' = - \dfrac{1}{{\sqrt {\left| {ml} \right|} }}{{N}}$ ${ H}' = \dfrac{1}{m}{ H}$ ,则 $\left[ {{{M}}',{{N}}'} \right] = - \dfrac{l}{{\left| l \right|}}{{H}}'$ $\left[ {{ H}',{ M}'} \right] = { N}'$ $\left[ {{ H}',{ N}'} \right] = - { M}'$

如果 $l > 0$ ,则有 $\left[ {{ M}',{ N}'} \right] = - { H}'$ 。令 ${e_1} = { M}' - { H}',\;{e_2} = { N}',\;{e_3} = { M}' + { H}'$ ,则有 $\left[ {{e_1},{e_2}} \right] = {e_1}$ $\left[ {{e_1},{e_3}} \right] = - 2{e_2}$ $\left[ {{e_2},{e_3}} \right] = {e_3}$ ,由李括号运算可知该类李代数属于 $L\left( {3,5} \right)$

现设 $l < 0$ ,则 $\left[ {{ M}',{ N}'} \right] = { H}'$ 。令 ${e_1} = { M}',\;{e_2} = { N}', {e_3} = { H}'$ ,则有 $\left[ {{e_1},{e_2}} \right] = {e_3}$ , $\left[ {{e_1},{e_3}} \right] = - {e_2}$ $\left[ {{e_2},{e_3}} \right] = {e_1}$ ,将满足该运算的李代数记为 $L\left( {3,6} \right)$

$l > 0$ $l < 0$ 时,只是改变了 $\left[ {X',Y'} \right]$ 的符号,但产生了两类不同的李代数,这两类李代数在实数域是不同构的,但在复数域则同构。将b中的基 ${{M}}'$ ${\rm{i}}{{M}}'$ 代替, ${{N}}'$ ${\rm{i}}{{N}}'$ 代替,再进行讨论,即可得出在复数域上这两类李代数同构,属于一类李代数。

最后,将以上关于三维实李代数的讨论总结为定理2。

定理2  在同构意义下,3维实李代数有如下8类:

a. $L\left( {3,0} \right)$ $\left[ {{e_1},{e_2}} \right] = 0$ $\left[ {{e_1},{e_3}} \right] = 0$ $\left[ {{e_2},{e_3}} \right] = 0$

b. $L\left( {3, - 1} \right)$ $\left[ {{e_1},{e_2}} \right] = {e_1}$ $\left[ {{e_1},{e_3}} \right] = 0$ $\left[ {{e_2},{e_3}} \right] = 0$

c. $L\left( {3,1} \right)$ $\left[ {{e_1},{e_2}} \right] \!=\! {e_3}$ $\left[ {{e_1},{e_3}} \right]\! =\! 0$ $\left[ {{e_2},{e_3}} \right]\! =\! 0$

d. $L\left( {3,2,a} \right)$ $\left[ {{e_1},{e_2}} \right] \!\!=\!\! 0$ $\left[ {{e_1},{e_3}} \right]\!\!=\! \!{e_1}$ $\left[ {{e_2},{e_3}} \right]\!\! =\!\! a{e_2}$ $0 < \left| a \right| \leqslant 1$

e. $L\left( {3,3} \right)$ $\left[ {{e_1},{e_2}} \right] \!\!=\!\! 0$ $\left[ {{e_1},{e_3}} \right] \!\!=\!\! {e_1}$ $\left[ {{e_2},{e_3}} \right] \!=\! {e_1} \!\!+\!\! {e_2}$

f. $L\left( {3,4,c} \right)$ $\left[ {{e_1},{e_2}} \right] \!\!=\!\! 0$ $\left[ {{e_1},{e_3}} \right]\! \!=\!\! c{e_1} \!-\! {e_2}$ $\left[ {{e_2},{e_3}} \right]\! = {e_1} + c{e_2}$ $c \geqslant 0$

g. $L\left( {3,5} \right)$ $\left[ {{e_1},{e_2}} \right] \!\!=\!\! {e_1}$ $\left[ {{e_1},{e_3}} \right] \!\!=\!\! - \!2{e_2}$ $\left[ {{e_2},{e_3}} \right] \!\!=\!\! {e_3}$

h. $L\left( {3,6} \right)$ $\left[ {{e_1},{e_2}} \right]\! =\! {e_3}$ $\left[ {{e_1},{e_3}} \right]\!= \! - {e_2}$ $\left[ {{e_2},{e_3}} \right] \!=\! {e_1}$

参考文献
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