上海理工大学学报  2020, Vol. 42 Issue (4): 317-319, 367   PDF    
关于星匹配数的图能量下界
王蒙蒙, 何常香     
上海理工大学 理学院,上海 200093
摘要: 对图 $ G$ 的能量 $ \varepsilon \left( G \right)$ $ {K_{1,s}}$ –匹配数 $ {\mu _s}\left( G \right)$ 之间的关系进行了研究。证明了对于一般图 $ G$ $ \varepsilon \left( G \right)$ $ 2\sqrt s {\mu _s}\left( G \right)$ 成立,进一步地,若其子图满足一定的条件,则有 $ \varepsilon \left( G \right)$ $ 2\sqrt s {\mu _s}\left( G \right) + \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}{c_1}\left( G \right)$ ,其中 $ {c_1}\left( G \right)$ 表示 $ G$ 中的奇圈数。还证明了若 $ n$ 阶树 $ T$ 的最大度小于等于3,有 $ \varepsilon \left( T \right)$ $ \left( {s + 1} \right){\mu _s}\left( T \right) - 1$ 成立。
关键词:      能量     K1,s−匹配    
Lower bounds of graph energy in terms of star matching number
WANG Mengmeng, HE Changxiang     
College of Science, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China
Abstract: The relationship between the energy $ \varepsilon \left( G \right)$ and the $ {K_{1,s}}$ -matching number $ {\mu _s}\left( G \right)$ of a graph $G$ was focused. It is proved that $ \varepsilon \left( G \right)$ $ 2\sqrt s {\mu _s}\left( G \right)$ . Furthermore, if each subgraph of $ G$ satisfies some special conditions, then $ \varepsilon \left( G \right)$ $ 2\sqrt s {\mu _s}\left( G \right) + \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}{c_1}\left( G \right)$ , where $ {c_1}\left( G \right)$ is the number of odd cycles in $ G$ . In addition, if the maximum degree of the tree $ T$ is no more than 3, then $ \varepsilon \left( T \right)$ $ \left( {s + 1} \right){\mu _s}\left( T \right) - 1$ .
Key words: graph     energy     K1,s-matching    
1 问题的提出

$G$ 是一个简单图,即没有环和重边的图, $V\left( G \right) = \left\{ {{v_1},{v_2}, \cdots ,{v_n}} \right\}$ $E\left( G \right)$ 分别表示 $G$ 的顶点集和边集,并且令A $\left( G \right) = {\left( {{a_{ij}}} \right)_{n \times n}}$ 表示 $G$ 的邻接矩阵。其中,若 ${v_i}{v_j} \in E\left( G \right)$ , ${a_{ij}} = 1$ ;否则, ${a_{ij}} = {\rm{0}}$ 。对于 $V\left( G \right)$ 的任一子集 $U$ ,以 $G - U$ 表示删除 $U$ 中的顶点以及与之相关联的所有边而得到的图。若 $H$ $G$ 的诱导子图,将用 $G - H$ 来表示诱导子图 $G - V\left( H \right)$ G的子图GH也称为HG中的补图,记为 $\overline H $ 。若 $x \in V \left( {G - H} \right)$ ,以 $H + x$ 表示 $G$ $V\left( H \right)$ $\left\{ x \right\}$ 的诱导子图。若 ${E_0}$ $E\left( G \right)$ 的子集,则 $G - {E_0}$ 表示在 $G$ 中去掉 ${E_0}$ 中所有边得到的子图。若 $G - {E_0}$ 不连通,则称 ${E_0}$ $G$ 的割集。

本文用 ${P_n}$ ${C_n}$ ${K_n}$ 分别表示恰有 $n$ 个顶点的路、圈、完全图, ${K_{s,n - s}}$ 表示二部点数分别为 $s$ $n - s$ 的完全二部图。在 $G$ 中无公共顶点的2个星图 ${K_{1,s}}$ 称为是相互独立的。 $G$ 中相互独立的 ${K_{1,s}}$ 构成的集合称为 $G$ 的一个 ${K_{1,s}}{\rm{ - }}$ 匹配[1]。例如, ${K_{1,1}}{\rm{ - }}$ 匹配就是一般的匹配, ${K_{1,2}}{\rm{ - }}$ 匹配就是 ${P_3} - $ 匹配。 $G$ 的所有 ${K_{1,s}}{\rm{ - }}$ 匹配中含有 ${K_{1,s}}$ 的最大个数称为 $G$ ${K_{1,s}}{\rm{ - }}$ 匹配数,记为 ${\mu _s}\left( G \right)$ ,并称此 ${K_{1,s}}{\rm{ - }}$ 匹配为 $G$ 的最大 ${K_{1,s}}{\rm{ - }}$ 匹配。若点 $v$ $G$ 中的某个最大 ${K_{1,s}}{\rm{ - }}$ 匹配 $M\left( G \right)$ 中的顶点,则称 $M\left( G \right)$ 饱和了点 $v$ 。若最大 ${K_{1,s}}{\rm{ - }}$ 匹配饱和了 $G$ 中的全部顶点,则称 $G$ 有完美 ${K_{1,s}}{\rm{ - }}$ 匹配。

$G$ 的能量 $\varepsilon \left( G \right)$ 定义为 $G$ 的邻接矩阵A $\left( G \right)$ 的所有特征值的绝对值之和。除了文献[2]中得到的关于匹配数的图能量下界,还有以下常见的结论:

a. 文献[3]证明了恰有 $m$ 条边的所有图 $G$ 的能量 $\varepsilon \left( G \right)$ $2\sqrt m $ ,文献[4]将这个结果拓展到有向图 $D$ ,证明了有向图 $D$ 的能量 $\varepsilon \left( D \right)$ $\sqrt {{\rm{2}}{c_2}} $ ,其中, ${c_{\rm{2}}}$ $D$ 中长度为2的闭途径的个数。

b. 文献[5]证明了:若 $G$ 是具有 $m$ 条边的二分图,设 $ \pm {\mu _{\rm{1}}},\cdots, \pm {\mu _N}$ $G$ 的特征值,令 ${M_k} = 2\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^N {\mu _i^k} $ ,若 $q = \dfrac{{{M_4}}}{2}$ ,则 $\varepsilon \left( G \right)$ $2m\sqrt {\dfrac{m}{q}} $ ,即 $q$ 是4阶谱矩的一半时此式成立。

c. 文献[6]证明了:若 $G$ 不含长为4的圈作为诱导子图,则 $\varepsilon \left( G \right)$ $2\dfrac{{\sqrt {2\delta \varDelta } }}{{2\left( {\delta + \varDelta } \right) - 1}}\sqrt {2mn}$ , 其中, $n$ $G$ 的顶点数, $m$ $G$ 的边数, $\delta $ $\varDelta$ 分别为 $G$ 的最小度和最大度。

d. 文献[7]证明了:若 $G$ 为至少有一条边的图,设 $r$ , $s$ , $t$ 为任意偶数,若 $4r = s + t + 2$ ,则

$\varepsilon \left( G \right)\geqslant \frac{{M_r^2\left( G \right)}}{{\sqrt {{M_s}\left( G \right){M_t}\left( G \right)} }}$ (1)

式中, ${M_k}\left( G \right)$ $G$ 中长为 $k$ 的闭途径的个数。

2 关于 ${K_{1,s}}$ −匹配数的图能量下界

$S \subseteq V\left( G \right)$ , $\overline S $ $S$ $V\left( G \right)$ 中的补集,以[ $S,\overline S $ ]表示一端在 $S$ 中、另一端在 $\overline S $ 中的所有边构成的集合。文献[8]中得到了关于图能量的2个结论,为引理1和引理2。

引理1[8]  若 ${E_0}$ 是简单图 $G$ 的割集,则 $\varepsilon \left( {G - {E_0}} \right)$ $\varepsilon \left( G \right)$

引理2[8]  设 $H$ 是图 $G$ 的诱导子图, ${E_0} =[H,\overline H ]$ , 若 ${E_0}$ 非空,并且 ${E_0}$ 中的所有边都恰与 $\overline H $ 中的某一个点相关联,则 $\varepsilon \left( {G - {E_0}} \right) < \varepsilon \left( G \right)$

引理3  设 ${G_1}$ ${G_2}$ $G$ 的2个互补诱导子图,若 $\left[ {v\left( {{G_1}} \right),v\left( {{G_2}} \right)} \right]$ 是一个星图,且 ${G_1}$ 有完美 ${K_{1,s}}$ −匹配,则 ${\mu _s}\left( G \right) = {\mu _s}\left( {{G_1}} \right) + {\mu _s}\left( {{G_2}} \right)$

证明  设 ${M_1}\left( G \right)$ , ${M_2}\left( G \right)$ 分别是 ${G_1}$ ${G_2}$ 的最大 ${K_{{\rm{1}},s}}$ −匹配,则 ${M_1}\left( G \right)$ $ \cup $ ${M_{\rm{2}}}\left( G \right)$ $G$ 的一个 ${K_{1,s}}$ −匹配,故有 ${\mu _s}\left( G \right)$ ${\mu _s}\left( {{G_1}} \right) + {\mu _s}\left( {{G_2}} \right)$

现证明 ${\mu _s}\left( G \right)$ ${\mu _s}\left( {{G_1}} \right) + {\mu _s}\left( {{G_2}} \right)$

$M\left( G \right)$ $G$ 的一个最大 ${K_{1,s}}$ −匹配,由于 $M\left( G \right)$ $ \cap $ $E\left( {{G_1}} \right)$ 至多覆盖 ${G_1}$ 中的所有点,所以,对于 $M\left( G \right)$ $ \cap $ $E\left( {{G_1}} \right)$ ${K_{1,s}}$ −匹配的个数(记为 $s( M\left( G \right) \cap E\left( {{G_1}} \right) )$ ),有 $s\left( {M\left( G \right) \cap E\left( {{G_1}} \right)} \right)$ ${\mu _s}\left( {{G_1}} \right)$ 。类似地,有 $s\left( {M\left( G \right) \cap E\left( {{G_2}} \right)} \right)$ ${\mu _s}\left( {{G_2}} \right)$

${E_0} = \left[ {v\left( {{G_1}} \right),v\left( {{G_2}} \right)} \right]$ , 若 $M\left( G \right) \cap {E_0} = $ Ø,则

$\begin{split} {\mu _s}\left( G \right) =& s\left( {M\left( G \right)} \right) = s\left( {M\left( G \right) \cap E\left( {{G_1}} \right)} \right) +\\& s\left( {M\left( G \right) \cap E\left( {{G_2}} \right)} \right)\leqslant {\mu _s}\left( {{G_1}} \right) + {\mu _s}\left( {{G_2}} \right) \end{split}$

$M\left( G \right) \cap {E_0} \ne $ Ø,由于 ${G_1}$ 有完美 ${K_{1,s}}$ −匹配,而 $M\left( G \right) \cap {E_0} \ne $ Ø,故 ${G_1}$ 中有点未被 $M\left( G \right) \cap E\left( {{G_1}} \right)$ 覆盖,所以, $M\left( G \right) \cap E\left( {{G_1}} \right)$ 不是 ${G_1}$ 的最大 ${K_{1,s}}$ −匹配,从而有 $s\left( {M\left( G \right) \cap E\left( {{G_1}} \right)} \right) < {\mu _s}\left( {{G_1}} \right)$ ,即 $s( M\left( G \right) \cap E\left( {{G_1}} \right) )$ ${\mu _s}\left( {{G_1}} \right) - 1$ ,故有

$\begin{split} &{\mu _s}\left( G \right) = s\left( {M\left( G \right)} \right)\leqslant{\mu _s}\left( {{G_1}} \right) - 1 + 1 +\\ &\quad{\mu _s}\left( {{G_2}} \right) = {\mu _s}\left( {{G_1}} \right) + {\mu _s}\left( {{G_2}} \right) \end{split}$

综上所述,有 ${\mu _s}\left( G \right) = {\mu _s}\left( {{G_1}} \right) + {\mu _s}\left( {{G_2}} \right)$ 成立。

定理1  设图 $G$ ${K_{1,s}}$ −匹配数为 ${\mu _s}\left( G \right)$ ,则 $\varepsilon \left( G \right)$ $2\sqrt s {\mu _s}\left( G \right)$ ,当 $G$ 是一些 ${K_{1,s}}$ 及孤立点的不交并时等号成立。

证明  设 $\rho \left( {{K_{1,s}}} \right)$ ${K_{1,s}}$ 的谱半径,则有 $\rho \left( {{K_{1,s}}} \right)$ $\sqrt s $ 。由于 ${K_{1,s}}$ 恰有1个正特征值,故有 $\varepsilon \left( {{K_{1,s}}} \right) = {\rm{2}}\rho \left( {{K_{{\rm{1,}}s}}} \right)$ ${\rm{2}}\sqrt s $

由于 $G$ ${K_{1,s}}$ −匹配数为 ${\mu _s}\left( G \right)$ , $G$ 经适当去割集后可得到 ${\mu _s}\left( G \right)$ 个顶点不相交的 ${K_{1,s}}$ 。由引理1可知

$ \varepsilon \left( G \right)\geqslant{\mu _s}\left( G \right)\varepsilon \left( {{K_{1,s}}} \right) = 2{\mu _s}\left( G \right)\sqrt s $

$\varepsilon \left( G \right)$ $2\sqrt s {\mu _s}\left( G \right)$ 成立。

当图 $G$ = ${K_{1,s}}$ 时,有等式 $\varepsilon \left( G \right) = 2\sqrt s $ 成立。根据上述结论可知,当 $G$ 是一些 ${K_{1,s}}$ 及孤立点的不交并时,不等式 $\varepsilon \left( G \right)$ $2{\mu _s}\left( G \right)\sqrt s $ 等号成立,即 $\varepsilon \left( G \right) = 2{\mu _s}\left( G \right)\sqrt s $

若图G中含有奇圈,当G满足 $\varepsilon \left( G \right)$ $2\sqrt s {\mu _s}\left( G \right) + \displaystyle\frac{{\displaystyle\sqrt 5 }}{5}{c_1}\left( G \right)$ 时,称其满足能量 ${K_{1,s}}$ −匹配条件。

引理4  设 $H$ $K$ 是图 $G$ 的2个互补诱导子图,如果 $G$ 满足如下条件之一:

a. ${\mu _s}\left( G \right) = {\mu _s}\left( H \right) + {\mu _s}\left( K \right)$ , ${c_1}\left( G \right) = {c_1}\left( H \right) + {c_1}\left( K \right)$ , 且 $H$ $K$ 都满足能量 ${K_{1,s}}$ −匹配条件;

b. ${\mu _s}\left( G \right) \!=\! {\mu _s}\left( H \right)\! +\! {\mu _s}\left( K \right)$ ${c_1}\left( G \right) \!=\! {c_1}\left( H \right)\! +\! {c_1}\left( K \right)\! +\! 1$ K满足能量 ${K_{1,s}}$ −匹配条件,且

$ \varepsilon \left( H \right) \geqslant 2\sqrt s {\mu _s}\left( H \right) + \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}{c_1}\left( H \right) + \dfrac{{\sqrt 5 }}{5} $

$ \varepsilon \left( G \right)2\sqrt s {\mu _s}\left( G \right) + \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}{c_1}\left( G \right) $

证明   a. 由于

$ \begin{array}{l} \varepsilon \left( H \right)\geqslant2\sqrt s {\mu _s}\left( H \right) + \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}{c_1}\left( H \right)\\ \varepsilon \left( K \right)\geqslant2\sqrt s {\mu _s}\left( K \right) + \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}{c_1}\left( K \right) \end{array} $

由引理1可得

$ \varepsilon \left( G \right)\geqslant\varepsilon \left( {G - {E_0}} \right) = \varepsilon \left( H \right) + \varepsilon \left( K \right) $

故有

$ {\mu _s}\left( G \right) = {\mu _s}\left( H \right) + {\mu _s}\left( K \right), \;{c_1}\left( G \right) = {c_1}\left( H \right) + {c_1}\left( K \right) $

     $\varepsilon \left( G \right)$ $2\sqrt s {\mu _s}\left( G \right) + \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}{c_1}\left( G \right)$

b. 设 $ {E_0} = \left[ {v\left( H \right),v\left( K \right)} \right]$ ,由于

$ \begin{array}{l} \varepsilon \left( G \right)\geqslant \varepsilon \left( {G - {E_{\rm{0}}}} \right) = \varepsilon \left( H \right) + \varepsilon \left( K \right)\\ \varepsilon \left( H \right)\geqslant 2\sqrt s {\mu _s}\left( H \right) + \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}{c_1}\left( H \right) + \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}\\ \varepsilon \left( K \right)\geqslant2\sqrt s {\mu _s}\left( K \right) + \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}{c_1}\left( K \right) \end{array} $

$ {\mu _s}\left( G \right) = {\mu _s}\left( H \right) + {\mu _s}\left( K \right), \;{c_1}\left( G \right) = {c_1}\left( H \right) + {c_1}\left( K \right) + 1 $

故有

$ \begin{split} &\varepsilon \left( G \right)\geqslant 2\sqrt s \left( {{\mu _s}\left( H \right) + {\mu _s}\left( K \right)} \right) + \quad\quad\\ &\quad\dfrac{{\sqrt 5 }}{5}\left( {{c_1}\left( H \right) + {c_2}\left( K \right) + 1} \right)= 2\sqrt s {\mu _s}\left( G \right) + \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}{c_1}\left( G \right) \end{split} $

    $\varepsilon \left( G \right)$ $2\sqrt s {\mu _s}\left( G \right) + \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}{c_1}\left( G \right)$

定理2  设图 $G$ 恰有 ${c_1}\left( G \right)$ 个奇圈,且 $G$ 的圈(若有的话)是两两顶点不相交的,设 ${G_1}$ ${G_2}$ $G$ 的2个互补诱导子图,且满足如下条件:

a. ${E_0} = \left[ {v\left( {{G_1}} \right),v\left( {{G_2}} \right)} \right]$ 是一个星图;

b. ${E_0}$ 中的边均是 $G$ 的割边;

c. ${G_1}$ 有完美 ${K_{1,s}}$ −匹配;

d. ${G_1}$ ${G_2}$ 满足能量 ${K_{1,s}}$ −匹配条件;

    $\varepsilon \left( G \right)$ $2\sqrt s {\mu _s}\left( G \right) + \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}{c_1}\left( G \right)$

证明  由于 ${E_0} = \left[ {v\left( {{G_1}} \right),v\left( {{G_2}} \right)} \right]$ 是一个星图,且 ${E_0}$ 中的边不属于任何一个圈,又 ${G_1}$ 有完美 ${K_{1,s}}$ −匹配,那么,由引理3可得

$ {\mu _{\rm{s}}}\left( G \right) = {\mu _s}\left( {{G_1}} \right) + {\mu _s}\left( {{G_2}} \right),\;\;\;\;\;\;{c_1}\left( G \right) = {c_1}\left( {{G_1}} \right) + {c_1}\left( {{G_2}} \right) $

又由引理4可知

$ \begin{array}{l} \varepsilon \left( {{G_{\rm{1}}}} \right)\geqslant 2\sqrt s {\mu _s}\left( {{G_1}} \right) + \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}{c_1}\left( {{G_1}} \right)\\ \varepsilon \left( {{G_{\rm{2}}}} \right)\geqslant 2\sqrt s {\mu _s}\left( {{G_2}} \right) + \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}{c_1}\left( {{G_2}} \right) \end{array} $

结合不等式

$ \varepsilon \left( G \right)\geqslant\; \varepsilon \left( {G{\rm{ - }}{E_0}} \right) = \varepsilon \left( {{G_1}} \right) + \varepsilon \left( {{G_2}} \right) $

$\varepsilon \left( G \right)\geqslant 2\sqrt s {\mu _s}\left( G \right) + \frac{{\sqrt 5 }}{5}{c_1}\left( G \right)$

引理5  若 $n$ 阶图 $G$ 的边数为 $m$ ,长为4的圈的个数为 $q$ ${d_{\rm{1}}}$ ${d_{\rm{2}}},\cdots,{d_n}$ G的度序列,则

$ {\varepsilon ^{\rm{2}}}\left( G \right)\geqslant \frac{{8{m^3}}}{{2\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{{{{d_i}} }^2}} - 2m + 8q}} $

证明  由式(1)可知,当 $r = t = 2$ $s = 4$ 时,对一般图 $G$ ,有 $\varepsilon \left( G \right)$ $\sqrt {\dfrac{{{{\left( {{M_2}\left( G \right)} \right)}^3}}}{{{M_4}\left( G \right)}}} $ 。由于 ${M_k}\left( G \right)$ 的值为图 $G$ ,为 $k$ 的闭途径的个数,故有

${M_2}\left( G \right) = 2m$ (2)
${M_4}\left( G \right) = 2{\sum\limits_{i = 1}^n { {{d_i}} } ^2} - 2m + 8q$ (3)

$G$ 的度序列记为{ ${d_{\rm{1}}},{d_2},\cdots,{d_n}$ },记最大度为 $\varDelta \left( G \right)$ ,则有

$ {d_1}^2 + {d_2}^2 + \cdots + d_n^2 \leqslant 2m\left( {\varDelta \left( G \right) + 1} \right) - n\varDelta \left( G \right) $

由式(2)和式(3)可得

${\varepsilon ^{\rm{2}}}\left( G \right)\geqslant \frac{{{{\left( {{M_2}\left( G \right)} \right)}^3}}}{{{M_4}\left( G \right)}} = \frac{{8{m^3}}}{{2\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n { {{d_i}^2}} - 2m + 8q}}$ (4)

故结论成立。

$G$ 是一棵最大度不超过3的树,可以得到这类图的关于星匹配数的能量下界。

定理3  设 $T$ 是一棵最大度不超过3的树,则 $\varepsilon \left( T \right)$ $\left( {s + 1} \right){\mu _s}\left( T \right) - 1$

证明  对于 $n$ 阶树 $T$ ,由引理5可知,当 $\varDelta \left( T \right)$ ≤3时, $q = 0$ $m = n - 1$

由式(4)和 $\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{d_i}^2} $ $2m\left( {\varDelta \left( G \right) + 1} \right) - n\varDelta \left( G \right)$ ,令 $d = \varDelta \left( G \right)$ ,可得

$ \begin{split} {\varepsilon ^2}\left( T \right)\geqslant& \frac{{4{m^3}}}{{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{{ {{d_i}} }^2}} - m}}\geqslant \frac{{4{{\left( {n - 1} \right)}^3}}}{{\left( {2d + 1} \right)\left( {n - 1} \right) - dn}} =\\& \frac{{4{{\left( {n - 1} \right)}^3}}}{{d\left( {n - 2} \right)+n - 1}} \geqslant \frac{{4{{\left( {n - 1} \right)}^3}}}{{\left( {d + 1} \right)\left( {n - 1} \right)}} = \\&\frac{{4{{\left( {n - 1} \right)}^2}}}{{d + 1}}\geqslant {\left( {n - 1} \right)^2} \end{split} $

$\varepsilon \left( T \right)$ $n - 1$

$T$ 有完美 ${K_{1,s}}$ −匹配时,则 ${\mu _s}\left( T \right) =m\left( T \right) = $ $ \dfrac{n}{{s + 1}}$ (其中,树 $T$ 最大度为 $s$ ,即 $\varDelta \left( T \right) = s$ )。若 $T$ 无完美 ${K_{1,s}}$ −匹配,则有 ${\mu _s}\left( T \right) < \dfrac{n}{{s + 1}}$ ,故对任意 $n$ 阶树 $T$ ,均有 ${\mu _s}\left( T \right)$ $\dfrac{n}{{s + 1}}$ ,即 $n$ $\left( {s + 1} \right){\mu _s}\left( T \right)$ ,从而 $\varepsilon \left( T \right)$ $n - 1$ ,故 $\varepsilon \left( T \right)$ $\left( {s + 1} \right){\mu _s}\left( T \right) - 1$

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