上海理工大学学报  2022, Vol. 44 Issue (4): 364-367   PDF    
Hadamard缺项幂级数及双曲完备极小曲面
张建肖, 刘晓俊     
上海理工大学 理学院,上海 200093
摘要: 基于具有Hadamard缺项的特殊幂级数,研究了一类位于 $\mathbb{R}^3 $ 中2个平行平面之间的双曲型完备极小曲面族。首先得到如下结果:若 $h(z) = \displaystyle\sum\limits_{j = 1}^\infty {{a_j}{z^{{n_j}}}}$ 是一个具有Hadamard缺项的幂级数,其中, $z \in {\mathbb{C}}$ $j = 1,2, \cdots $ ,且满足给定的3个特殊条件,则对于单位圆盘 $ \Delta $ 内的任意发散曲线 $ \gamma $ ,有 $\displaystyle\int_\gamma {{{\left| {h'(z)} \right|}^2}\left| {{\rm{d}}z} \right|} = \infty$ 。同时列举出了满足上述条件的具体的解析函数,其次通过选择适当的Weierstrass表示对,并利用上述结论,构造出了位于 $\mathbb{R}^3 $ 中2个平行平面之间的双曲型完备极小曲面族及其具体形式。
关键词: Hadamard缺项幂级数     发散曲线     完备极小曲面     Weierstrass表示对    
Power series with Hadamard gaps and hyperbolic complete minimal surfaces
ZHANG Jianxiao, LIU Xiaojun     
College of Science, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China
Abstract: Based on the special power series with Hadamard gaps, a family of hyperbolic complete minimal surfaces located between two parallel planes in $ {\mathbb{R}^3} $ was studied. Firstly, the following results were obtained: Let $h(z) = \displaystyle \sum\limits_{j = 1}^\infty {{a_j}{z^{{n_j}}}}$ be a series with Hadamard gaps, where $ z \in \mathbb{C} $ , $j = 1,2, \cdots $ , and satisfy three given special conditions. Then for all divergent paths $ \gamma $ in the unit disk $ \Delta $ , $\displaystyle \int_\gamma {{{\left| {h'(z)} \right|}^2}\left| {dz} \right|} = \infty$ satisfies. At the same time, the specific analytical functions satisfying the above conditions were listed. Secondly, by selecting the appropriate Weierstrass representation pair and using the above conclusion, the hyperbolic complete minimal curved surface family and its specific form between two parallel planes in $ {\mathbb{R}^3} $ were constructed.
Key words: power series with Hadamard gaps     divergence curve     completeminimal surface     Weierstrass representation pair    
1 问题的提出

极小曲面理论是近年来发展较快的一个数学分支,它广泛存在于自然界当中。关于极小曲面的很多问题也源于自然界,这就为学者们更好地了解极小曲面的性质创造了有利条件。1954年,Calabi[1]提出了以下2个猜想:

猜想1 包含于 $\mathbb{R}^3 $ 的半空间中的完备极小曲面一定是平面。

猜想2  $\mathbb{R}^3 $ 中的完备极小曲面是 $\mathbb{R}^3 $ 中的无界子集。

1980年,Jorge等[2]利用Runge逼近定理证明了存在位于 ${\mathbb{R}^3} $ 中2个平行平面之间非平坦的完备极小曲面,从而否定了猜想1。

1996年,Nadirashvili[3]利用Runge逼近定理否定了猜想2,证明了存在极小浸入到 ${\mathbb{R}^3} $ 中单位球的具有负Gauss曲率的完备极小曲面。但是,他们的证明只是表明存在相应的极小曲面,没有给出具体的满足条件的极小曲面的例子。

于是,这就需要学者们对于能否构造出具体的完备极小曲面实例进行深入的研究。

1992年,Brito[4]利用Hadamard缺项幂级数构造了 ${\mathbb{R}^3} $ 中位于2个平行平面间的完备极小曲面族,给出了实例,得到定理1。

定理1[4]  若 $h(z) = \displaystyle\sum\limits_{j = 1}^\infty {{a_j}{z^{{n_j}}}}$ 是一个Hadamard缺项幂级数,其中, $z \in {\mathbb{C} }$ $j = 1,2, \cdots $ ,且满足下列条件:

a. $\displaystyle\sum\limits_{j = 1}^\infty {\left| {{a_j}} \right|}$ 收敛;

b. $\mathop {\lim }\limits_{j \to \infty } \left| {{a_j}} \right|\min \left\{ {\left( {{{{n_j}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{n_j}} {{n_{j - 1}}}}} \right. } {{n_{j - 1}}}}} \right),\left( {{{{n_{j + 1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{n_{j + 1}}} {{n_j}}}} \right. } {{n_j}}}} \right)} \right\} = \infty $

c. $\displaystyle\sum\limits_{j = 1}^\infty {{{\left| {{a_j}} \right|}^2}{n_j}}$ 发散;

则对于 $ \Delta $ 内的任意发散曲线 $ \gamma $ ,有

$ \int_\gamma {{{\left| {h'(z)} \right|}^2}\left| {{\rm{d}}z} \right|} = \infty $

由此,只要令Weierstrass表示中的 $f = 1$ $g = h'$ ,即可得到 $\mathbb{R}^3 $ 中2个平行平面间的完备极小曲面族。于是,研究发现Hadamard缺项幂级数与完备极小曲面存在紧密的联系。

根据定理1的条件a和b可知,当 $ j $ 充分大时, $\min \left\{ {\left( {{{{n_j}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{n_j}} {{n_{j - 1}}}}} \right. } {{n_{j - 1}}}}} \right),\left( {{{{n_{j + 1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{n_{j + 1}}} {{n_j}}}} \right. } {{n_j}}}} \right)} \right\}$ 趋向于 $ \infty $ 的速度远大于 $ \left| {{a_j}} \right| $ 趋向于0的速度。于是,自然地可以提出如下问题:能否减弱此条件。

受到1991年孙道椿[5]证明方法的启发,作者继续研究能否构造出位于 $\mathbb{R}^3 $ 中2个平行平面间的完备极小曲面,得到定理2。

定理2 若 $h(z) = \displaystyle\sum\limits_{j = 1}^\infty {{a_j}{z^{{n_j}}}}$ 是一个Hadamard缺项幂级数,其中, $z \in {\mathbb{C}}$ $j = 1,2, \cdots $ ,且满足下列条件:

a. $\left|\dfrac{{a}_{j+1}}{{a}_{j}}\right|⩽\eta \lt 1,\left|{a}_{j}\right|\ne 0$

b. 对于充分大的 $k \in {{\mathbb{Z}}^ + }$

$ \begin{split} &\displaystyle\sum\limits_{j = 1}^{k - 1} {\left| {{a_j}} \right|{n_j}} \lt \dfrac{1}{{4{\rm{e}}}}\left| {{a_k}} \right|{n_k}且 \dfrac{{q}_{k}}{2}-\mathrm{ln}{q}_{k}⩾1-\mathrm{ln}\dfrac{1-\eta }{8\eta } \end{split}$

其中, ${q_k} = \dfrac{{{n_{k + 1}}}}{{{n_k}}}且{q_k} \gt 2 $

c. $\displaystyle\sum\limits_{j = 1}^\infty {{{\left| {{a_j}} \right|}^2}{n_j}}$ 发散;

则对于单位圆盘 $\Delta $ 内的任意发散曲线 $ \gamma $ ,有

$ \int_\gamma {{{\left| {h'(z)} \right|}^2}\left| {{\rm{d}}z} \right|} = \infty $
2 定义与符号

$ \Delta $ 为复平面 ${\mathbb{C}}$ 中的单位圆盘,现讨论由 $ \Delta $ 参数化的完备极小曲面。

现给出Hadamard缺项幂级数的定义。

定义1[6-7]  若 $f(z) = \displaystyle\sum\limits_{j = 1}^\infty {{a_j}{z^{{n_j}}}}$ 是一个收敛半径为1的幂级数,其中, $z \in {\mathbb{C}}$ ,且满足

$ {n}_{j+1}/{n}_{j}\geqslant q \gt 1,\;\;j=1,2,\cdots \text{,} $

则称 $f(z)$ 为Hadamard缺项幂级数。

关于缺项幂级数的更多结果可参见文献[8]。

定义2[9-10]   $\mathbb{R}^3 $ 中平均曲率恒为零的曲面称为极小曲面。

定义3[10]  设D $\mathbb{R}^2 $ 中的开子集, $\gamma :\left[ {0,a} \right) \to $ DD内的连续曲线。若对D的任意紧子集K,存在 ${t_0}$ $0 \lt {t_0} \lt a$ ,对任意 $t \in \left( {{t_0},a} \right)$ ,有 $\gamma (t) \notin K$ ,则称 $\gamma $ 是发散的,记作 $\gamma \to \partial D$

定义4[10]  设 $ I:D \subset {\mathbb{R}^2} \to {\mathbb{R}^3} $ 是一个浸入,且D具有诱导度量,即 ${\left\| v \right\|_D} = {\left\| {{I_ * }v} \right\|_{{\mathbb{R}^3}}}$ ,这里 ${I_ * }:{T_z}(D) \to {T_{I(z)}}({{\rm{R}}^3})$ 是浸入I的切映射。若对于任意的光滑发散曲线 $ \gamma :\left[ {0,a} \right) \to D $ ,其在诱导度量下的弧长为无穷大,则称浸入 $ I:D \subset {\mathbb{R}^2} \to {\mathbb{R}^3} $ 是完备的。

定义5[11-13]  设单连通区域 $ D \subseteq \mathbb{C},\;f:D \to \mathbb{C} $ D上的全纯函数, $g:D \to \mathbb{\bar C}$ D上的亚纯函数,满足若 $ {z_0} $ $ g $ $k\left(\geqslant 1\right)$ 重极点,则 $ {z_0} $ $ f $ $ 2k $ 重零点;反之亦然。令

$ \left\{\begin{split} &{x_1}(z) = {a_1} + {{\rm{Re}}} \displaystyle\int_0^z {\dfrac{1}{2}f(1 - {g^2}){\rm{d}}\xi } \\ &{x_2}(z) = {a_2} + {{\rm{Re}}} \displaystyle\int_0^z {\dfrac{i}{2}f(1 + {g^2}){\rm{d}}\xi } \\ &{x_3}(z) = {a_3} + {{\rm{Re}}} \displaystyle\int_0^z {fg} {\rm{d}}\xi \end{split}\right. $ (1)

则称 $ x = \left( {{x_1},{x_2},{x_3}} \right):D \to {{\mathbb{R}}^3} $ 为极小曲面M的Enneper-Weierstrass表示,或简称Weierstrass表示, $ (f,g) $ 称为极小曲面M的Weierstrass表示对,由 $ (f,g) $ 生成的极小曲面可记为 $ M(f,g) $

此时,M上的度量定义为

$ {\rm{d}}s = \lambda (z)\left| {{\rm{d}}z} \right| = \frac{1}{2}\left| f \right|(1 + {\left| g \right|^2})\left| {{\rm{d}}z} \right| $ (2)
3 定理2的证明

对于任意的 $ k \in {{\mathbb{N}}} $ ,令

$ {R}_{k}=\left\{z\in \Delta :1-\frac{1}{{n}_{k}}\leqslant \left|z\right|\leqslant 1-\frac{1}{2{n}_{k}}\right\} $

每一个 $ {R_k} $ 都是一个宽度为 $\dfrac{1}{{2{n_k}}}$ 的环,且对于充分大的 $ k $ ,每个环形 $ {R_k} $ 互不相交。

$ \begin{split} & \left| {h'(z)} \right| = \left| {\displaystyle\sum\limits_{j = 1}^\infty {{n_j}{a_j}{z^{{n_j} - 1}}} } \right| \gt \left| {\displaystyle\sum\limits_{j = 1}^\infty {{n_j}{a_j}{z^{{n_j}}}} } \right| \geqslant \\ &\;\;{n}_{k}\left|{a}_{k}\right|{\left|z\right|}^{{n}_{k}}-\left|{\displaystyle \sum _{j=1}^{k-1}{n}_{j}{a}_{j}{z}^{{n}_{j}}}\right|-\left|{\displaystyle \sum _{j=k+1}^{\infty }{n}_{j}{a}_{j}{z}^{{n}_{j}}}\right|,\;z\in \Delta \end{split} $ (3)

对任意固定的 $ k $ ,记 ${A_k} = {n_k}{a_k}{z^{{n_k}}}, {B_k} = \displaystyle\sum\limits_{j = 1}^{k - 1} {{n_j}{a_j}{z^{{n_j}}}} , {C_k} = \displaystyle\sum\limits_{j = k + 1}^\infty {{n_j}{a_j}{z^{{n_j}}}}$

由式(3)可得,

$ \left|{h}^{\prime }(z)\right|\geqslant \left|{A}_{k}\right|-\left|{B}_{k}\right|-\left|{C}_{k}\right| \text{,}z \in \Delta \text{,}k \in {\mathbb{N}} $ (4)

现假设 $ k $ 充分大。当 $z \in {R_k}$ 时, $\left|{A}_{k}\right|\geqslant \left|{a}_{k}\right|{n}_{k}\cdot {\left(1-\dfrac{1}{{n}_{k}}\right)}^{{n}_{k}}$

因为, $\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {\left( {1 - \dfrac{1}{{{n_k}}}} \right)^{{n_k}}} = \dfrac{1}{{\rm{e}}}$ ,所以,存在 $ {k_1} \in {\mathbb{N}} $ ,使得

$ \left|{A}_{k}\right|\geqslant \frac{1}{2{\rm{e}}}\left|{a}_{k}\right|{n}_{k} \text{,} k \geqslant {k}_{1} \text{,}z \in {R_k} $ (5)

另一方面,由定理2的条件b可得,存在 $ {k}_{2}\in {\mathbb{N}},{k}_{2}\geqslant{k}_{1}$ ,使得

$ \left| {{B_k}} \right| \lt \frac{1}{{4{\rm{e}}}}\left| {{a_k}} \right|{n_k} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{{2{\rm{e}}}}\left| {{a_k}} \right|{n_k}\right)\text{,} k\geqslant {k}_{2} \text{,}z \in {R_k} $ (6)

因为,当 $0 \lt x \lt 1$ 时, $\ln\, (1 - x) \lt - x$ ,又根据定理2的条件a可得,

$ \begin{split} &\left|{C}_{k}\right|\leqslant {\displaystyle \sum _{j=k+1}^{\infty }\left|{a}_{j}\right|{n}_{j}{\left(1-\frac{1}{2{n}_{k}}\right)}^{{n}_{j}}} = \sum\limits_{j = k + 1}^\infty {\left| {{a_j}} \right|{n_j}{{\rm{e}}^{{n_j}\ln (1 - \frac{1}{{2{n_k}}})}}} \leqslant\\ &\quad\quad {\displaystyle \sum _{j=k+1}^{\infty }{\eta }^{j-k}\left|{a}_{k}\right|{n}_{j}{{\rm{e}}}^{-\frac{{n}_{j}}{2{n}_{k}}}} \text{,}z \in {R_k} \end{split}$

由定理2的条件b可知,对于充分大的 $ k $ ${n_{k + 1}} \gt 2{n_k}$ ,又由于当 $ x \gt a $ 时,函数 $x{{\rm{e}}^{ - x/a}}$ 是递减函数,故

$ \left|{C}_{k}\right|\leqslant {\displaystyle \sum _{j=k+1}^{\infty }{\eta }^{j-k}\left|{a}_{k}\right|{n}_{k+1}{{\rm{e}}}^{-\frac{{n}_{k+1}}{2{n}_{k}}}},\;\;z\in {R}_{k} $ (7)

再由定理2的条件b和式(7)可得,存在 ${k}_{3}\in {\mathbb{N}}, {k}_{3}\geqslant {k}_{2}$ ,使得

$ \begin{split} \left|{C}_{k}\right|\leqslant & \frac{\eta }{1-\eta }\left|{a}_{k}\right|{n}_{k+1}{{\rm{e}}}^{-\frac{{n}_{k+1}}{2{n}_{k}}} \leqslant \frac{1}{8{\rm{e}}}\left|{a}_{k}\right|{n}_{k} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{{2{\rm{e}}}}\left| {{a_k}} \right|{n_k}\right)\text{,} \\ &k\geqslant {k}_{1} \text{,}z \in {R_k}\\[-12pt] \end{split} $ (8)

由式(4)~(6)和式(8)可得,存在 ${k}_{0}\in \mathbb{N},\;{k}_{0}\geqslant {k}_{3}$ ,使得

$ \left|{h}^{\prime }(z)\right|\geqslant \frac{1}{8{\rm{e}}}\left|{a}_{k}\right|{n}_{k} $

$ \Delta $ 内的发散曲线 $ \gamma $ ,对于任意的 $ k\geqslant l $ $l \in{\mathbb{N}}$ $ \gamma $ 必定穿过 $ {R_k} $ ,则

$ \begin{split} {{\displaystyle {\int }_{\gamma }\left|{h}^{\prime }(z)\right|}}^{2}\left|{\rm{d}}z\right|\geqslant & {\displaystyle \sum _{k=l}^{\infty }{\displaystyle {\int }_{\gamma \cap {R}_{k}}{\left|{h}^{\prime }(z)\right|}^{2}\left|{\rm{d}}z\right|}} \geqslant\\ &{\displaystyle \sum _{k=l}^{\infty }\frac{1}{128{{\rm{e}}}^{2}}{\left|{a}_{k}\right|}^{2}{n}_{k}} = \infty \end{split}$

根据定理2的条件c可以得到最后的不等式。所以,定理2得证。

$h(z) = \displaystyle\sum\limits_{j = 1}^\infty {{a_j}{z^{{n_j}}}}$ $z \in {\mathbb{C}}$ ,其中, ${a_j} = \dfrac{1}{{{2^j}}}, \; {n_j} = {(16{\rm{e}})^j}$ 。易得 $ h(z) $ 满足定理2的条件a~c,但不满足定理1的条件b。

4 推 论

$ A(\Delta ) $ 是由在单位圆盘 $ \Delta $ 内的解析的函数构成的集合。

推论1 存在 $ h \in A(\Delta ) $ ,使 $ h' $ $\mathbb{R}^3 $ 中一个完备极小曲面M的Gauss映射,其中,M位于 $\mathbb{R}^3 $ 中的2个平行平面之间。

证明 设M为Weierstrass表示中取 $f = 1, g = h'$ 所得的极小曲面,其中, $ h $ 满足定理2的条件,则 $ h \in A(\Delta ) $

由于 $\lambda (z)\left| {{\rm{d}}z} \right| = \dfrac{1}{2}\left(1 + {\left| {h'(z)} \right|^2}\right)\left| {{\rm{d}}z} \right|$ ,由定理2可以得出此度量是完备的,所以, $ h' $ $\mathbb{R}^3 $ 中一个完备极小曲面M的Gauss映射。又由于

$ \begin{split} {x}_{3}(z)=& \mathrm{Re}{\displaystyle {\int }_{0}^{z}f(\xi )g(\xi ){\rm{d}}\xi }=\\ &\mathrm{Re}{\displaystyle {\int }_{0}^{z}{h}^{\prime }(\xi ){\rm{d}}\xi }=\\ &\mathrm{Re}(h(z)-h(0))=\\ &\mathrm{Re}(h(z))\leqslant {\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }{a}_{j}{z}^{{n}_{j}}}\leqslant {\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }\left|{a}_{j}\right|} \lt \infty \end{split} $

所以, $ M $ 位于 $\mathbb{R}^3 $ 中的2个平行平面之间。

推论1的证明过程与Brito[4]的推论相同。

参考文献
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