上海理工大学学报  2022, Vol. 44 Issue (5): 477-489   PDF    
广义河床流体模型方程单调递减扭状孤波解的渐近稳定性
张坤, 汪成伟, 张卫国     
上海理工大学 理学院,上海 200093
摘要: 研究了广义河床流体模型方程单调递减扭状孤波解的渐近稳定性。首先运用平面动力系统的理论和方法证明了该方程扭状孤波解的存在性;其次证明了该单调递减扭状孤波解具有的3个性质,特别是给出了该行波解的一阶和二阶导数估计式;最后运用反导数方法、先验估计方法和Young不等式,证明了该模型方程单调递减扭状孤波解是渐近稳定的。
关键词: 广义河床流体模型方程     单调递减扭状孤波解     渐近稳定性     能量先验估计    
Asymptotic stability of the monotone decreasing kink profile solitary-wave solution for generalized river-bed model equation
ZHANG Kun, WANG Chengwei, ZHANG Weiguo     
College of Science, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China
Abstract: The asymptotic stability of monotone decreasing kink profile solitary-wave solution for generalized river-bed model equation was mainly studied. Firstly, by using the theory of planar dynamical system, the existence of kink profile solitary-wave solution of this equation was proved. Secondly, three properties of the monotone decreasing kink profile solitary-wave solution were proved, especially the first-order and second-order derivative estimation formulas of this traveling wave solution were given. Finally, by using anti-derivative strategy, with the help of priori estimate and Young inequality, it was proved that the monotone decreasing kink profile solitary-wave solution of model equation was asymptotically stable.
Key words: generalized river-bed model equation     monotone decreasing kink profile solitary-wave solution     asymptotic stability     energy priori estimate    
1 问题的提出

广义河床流体模型方程

$ {u}_{t}+\varepsilon {u}_{xx}-\delta {u}_{xt}+{u}_{xxx}+f{\left(u\right)}_{x}=0 $ (1)

是一个重要的模型方程,其中, $ \delta \geqslant 0,f\left(u\right)=\beta {u}^{p+1} $ $ p $ 为任意的正整数,常数 $ \;\beta > 0 $ 。不难发现,当 $ p=1 $ 时,式(1)即化为河床流体模型方程

$ {u}_{t}+\varepsilon {u}_{xx}-\delta {u}_{xt}+{u}_{xxx}+2\beta u{u}_{x}=0 $ (2)

方程(2)源自于两相流体模型的研究[1-5]。当 $ \varepsilon =\delta =0 $ $ p=1 $ 时,方程(1)即化为KdV方程[6]

$ \begin{array}{c}{u}_{t}+2\beta u{u}_{x}+{u}_{xxx}=0\end{array} $

$ \delta = 0 $ $ p = 1 $ 时,方程(1)可以化为KdV-Burgers方程[7-12]

$ \begin{array}{c}{u}_{t}+2\beta u{u}_{x}+\varepsilon {u}_{xx}+{u}_{xxx}=0\end{array} $

$ \delta = 0 $ $ p = 2 $ 时,方程(1)可以化为MKdV-Burgers方程[13-16]

$ \begin{array}{c}{u}_{t}+3\beta {u}^{2}{u}_{x}+\varepsilon {u}_{xx}+{u}_{xxx}=0\end{array} $

文献[3-5]用数值分析法研究了方程(2)在条件

$ u\left(x+2\text{π} \right)=u\left(x,t\right),u\left(x,0\right)={u}_{0}\left(x\right),x\in {\mathbb {R}},t\in \left[0,\tau \right] $ (3)

下的周期初边值问题,文献[3-4]的研究证明,对周期初边值问题(2)和(3)采用通常的差分方法及Galerkin有限元法得到的差分格式是不稳定的。为此,文献[4]利用特殊技巧给出了其在空间方向上的一个半离散稳定的差分格式。文献[5]用稳定化有限元法的思想,对问题(2)和(3)在一定条件下给出了一种全离散的稳定的差分格式,并用能量法证明了该差分格式的非线性稳定性及收敛性。

文献[17]运用平面动力系统理论对方程(2)的行波解作了定性分析,找到了一个临界值 $ \lambda_0(\lambda_0= 2 \sqrt[4]{c^2+4 \beta g} $ ,其中,c为行波波速,g为积分常数),得到结论:

若耗散系数 $ \varepsilon ,\delta $ 满足 $ \varepsilon +c\delta < -{\lambda }_{0}(\varepsilon +c\delta > {\lambda }_{0}) $ ,则方程(2)有唯一的单调递减(递增)扭状孤波解;

若耗散系数 $ \varepsilon ,\delta $ 满足 $ -{\lambda }_{0} < \varepsilon + c\delta < 0\mathrm{ }(0 < \varepsilon +c\delta < {\lambda }_{0}) $ ,则方程(2)有唯一的衰减振荡解。

文献[17]求出了在耗散作用较小(即 $ \left|\varepsilon +c\delta \right| < {\lambda }_{0} $ )时,方程(2)衰减振荡解的近似解,且给出了近似解与真解的误差估计。但文献[17]并没有研究当 $ \varepsilon +c\delta < {-\lambda }_{0} $ 时方程(2)单调递减扭状孤波解的稳定性。

受文献[17]的启发,本文将研究广义河床流体模型方程(1)在耗散系数 $ \varepsilon ,\delta $ 满足 $ \varepsilon +c\delta < -{\lambda }^{*} $ ( $ {\lambda }^{*}\mathrm{待}\mathrm{求} $ )时,单调递减行波解 $ u\left(\xi \right) $ 的存在性,以及其是否具有渐近稳定性的问题。

值得指出,Pego[18]利用 $ {L}^{2} $ 能量估计方法证明了KdV-Burgers方程单调冲击波解的渐近稳定性。本文所研究的河床流体模型方程(1)虽然当 $\delta = 0\mathrm{,}p=1$ 时,形式上形如KdV-Burgers方程,但因方程(1)中耗散项为 $ \varepsilon {u}_{xx}-\delta {u}_{xt} $ 且非线性项为高次非线性项 $ {\left({u}^{p+1}\right)}_{x} $ ,由此在作稳定性研究时增加了难度。为了解决这些困难,本文将运用反导数方法,并充分利用方程(1)单调递减扭状孤波解存在的条件 $ \varepsilon +c\delta < -{\lambda }^{*} $ ,以及该扭状孤波解的一阶、二阶导数所满足的性质和一些估计技巧,去得到方程(1)的扭状孤波解关于扰动的一致能量估计。由此证明方程(1)单调递减扭状孤波解是渐近稳定的结论。

2 方程(1)单调递减扭状孤波解的存在性

运用平面动力系统的理论[19-21]来研究方程(1)在 $ \varepsilon +c\delta < -{\lambda }^{*} $ 情况下单调递减行波解的存在性。

设方程(1)具有行波解 $ u\left(t,x\right)=u\left(\xi \right)=u(x-ct) $ ,则 $ u\left(\xi \right) $ 满足

$ \begin{split} & -c{u}{{'}}\left(\xi \right)+\varepsilon {u}{{'}{'}}\left(\xi \right)+c\delta {u}{{'}{'}}\left(\xi \right)+{u}{{'}{'}{'}}\left(\xi \right)+\\&\qquad\beta \left(p+1\right){u}^{p}\left(\xi \right){u}{{'}}\left(\xi \right)=0 \end{split} $

其中,c为波速。对上式关于 $ \xi $ 积分一次,可得

$ \begin{array}{c}{u}{{'}{'}}\left(\xi \right)+\left(\varepsilon +c\delta \right){u}{{'}}\left(\xi \right)-cu\left(\xi \right)+\beta {u}^{p+1}\left(\xi \right)=k\end{array} $

这里的 $ k $ 是积分常数。由于本文主要研究的是系统的耗散效应,假设所研究的行波解满足

$ {c}{u}{{'}}\left(\xi \right),\;\;{u}{{'}{'}}\left(\xi \right)\to 0,\;\;\left|\xi \right|\to\infty $ (4)

且渐近值 $ {C}_{+} $ ${C}_{-}({C}_{+}=\underset{\xi ⟶+\infty }{\mathrm{lim}}\,u\left(\xi \right),{C}_{-}=\underset{\xi ⟶-\infty }{\mathrm{lim}}\,u\left(\xi \right))$ 满足

$ \beta {x}^{p+1}-cx=0 $ (5)

由此,在假设式 $ \left(4\right) $ 和式 $ \left(5\right) $ 条件下,方程(1)的行波解满足

$ {u}{{'}{'}}\left(\xi \right)+\left(\varepsilon +c\delta \right){u}{{'}}\left(\xi \right)-cu\left(\xi \right)+\beta {u}^{p+1}\left(\xi \right)=0 $ (6)

在接下来的讨论中,始终假设方程(1)的行波解满足式(4)和式(5)。

$ x=u\left(\xi \right) $ ${y=u}{{'}}\left(\xi \right)$ ,则方程(6)等价于如下平面动力系统:

$ \left\{\begin{array}{l}\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\xi }=y\equiv P\left(x,y\right)\\ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\xi }=-\left(\varepsilon +c\delta \right)y+cx-\beta {x}^{p+1}\equiv Q\left(x,y\right)\end{array}\right.$ (7)

由于方程(6)的有界解对应于系统(7)的有界轨线。因此,可以通过研究系统(7)的有界轨线及其性态来研究方程(6)的解及性态。

首先,由于 $\dfrac{ \partial P}{ \partial x}+\dfrac{ \partial Q}{ \partial y}=-(\varepsilon +c\delta ) $ ,根据Bendixson-Dulac’s判别法[19-21],有命题1成立。

命题1  当 $ \varepsilon +c\delta \ne 0 $ 时,系统(7)在 $ (x,y) $ 平面上不存在闭轨线和具有有限个奇点的奇异闭轨线。进而当 $ \varepsilon +c\delta \ne 0 $ 时,方程(1)不存在周期波解和钟状孤波解。

在平面 $ (x,y) $ 上,系统(7)的有限远奇点的个数依赖于代数方程 $ f\left(x\right)=\beta {x}^{p+1}-cx=0 $ 。记 $ {x}_{0}=0 $ ${x}_{1}= {\left(c/\beta \right)}^{1/p}$ $ {x}_{2}=-{x}_{1} $ 。对于 $ f\left(x\right)=0 $ 的实根,有以下结果:

a. $ c > 0 $ ,当 $ p $ 为偶数时,方程 $ f\left(x\right) $ 有3个不同的实根 $ {x}_{0} $ $ {x}_{1} $ $ {x}_{2} $ ;当 $ p $ 为奇数时,方程 $ f\left(x\right) $ 有2个不同的实根 $ {x}_{0} $ $ {x}_{1} $

b. $ c < 0 $ ,当 $ p $ 为偶数时,方程 $ f\left(x\right) $ 仅有1个实根 $ {x}_{0} $ ;当 $ p $ 为奇数时,方程 $ f\left(x\right) $ 有2个不同的实根 $ {x}_{0} $ $ {x}_{1} $

由于系统(7)在 $ c < 0 $ $ p $ 为偶数时只有1个奇点,故在 $ \varepsilon +c\delta \ne 0 $ 情况下方程(1)不存在有界行波解,所以,将不考虑这种情况。

系统(7)在奇点 $ {P}_{i}({x}_{i},0) $ 处的Jacobi矩阵为

$ {\boldsymbol{J}}\left({x}_{i},0\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -{f}{{'}}\left({x}_{i}\right)& -\left(\varepsilon +c\delta \right)\end{array}\right),\quad i={0,\;1},\;2 $

因此, $ \boldsymbol{J}\left({x}_{i},0\right) $ 的行列式即 $ \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(\boldsymbol{J}\left({x}_{i},0\right)\right) $ 等于 ${f}{{'}}\left({x}_{i}\right)$ $ i={0,\;1},\;2 $ 。用 $ {\varDelta }_{i} $ 表示特征方程在 $ {P}_{i}({x}_{i},0) $ 处的判别式, ${\varDelta }_{i}={\left(\varepsilon +c\delta \right)}^{2}-4{f}{{'}}\left({x}_{i}\right)$ $i={0,\;1},\;2$ 。从而可知 ${\varDelta }_{0}= {\left(\varepsilon +c\delta \right)}^{2}+4c$ $ {\varDelta }_{1}={\left(\varepsilon +c\delta \right)}^{2}-4pc $ ;如果 $ p $ 为偶数,则有 $ {\varDelta }_{1}={\varDelta }_{2} $

接下来运用平面动力系统的理论和方法[19-21]讨论系统(7)奇点的类型,并给出在条件 $ \varepsilon +c\delta < 0 $ 下的全局相图。

在条件 $ \varepsilon +c\delta < 0 $ 下,由于 $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(\boldsymbol{J}\left(\mathrm{0,0}\right)\right) = {f}{{'}}\left(0\right) = -c$ ,易知当 $ c > 0 $ 时, $ {P}_{0} $ 为鞍点;当 $ c < 0 $ $ {\varDelta }_{0} > 0 $ 时, $ {P}_{0} $ 为不稳定的结点;当 $ c < 0 $ $ {\varDelta }_{0} < 0 $ 时, $ {P}_{0} $ 为不稳定的焦点。奇点 $ {P}_{i} $ 的类型如下所示:

a. $ c > 0 $ ,当 $ p $ 为偶数时,由于 $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(\boldsymbol{J}\left({x}_{i},0\right)\right)= f{{'}}\left({x}_{i}\right) > 0$ ,当 $ {\varDelta }_{1} > 0 $ 时, $ {P}_{i} $ ( $ i=\mathrm{1,2}) $ 为不稳定的结点;当 $ {\varDelta }_{1} < 0 $ 时, $ {P}_{i} $ ( $ i=\mathrm{1,2}) $ 为不稳定的焦点。当 $ p $ 为奇数时,由于 ${\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(\boldsymbol{J}\left({x}_{1},0\right)\right)=f}{{'}}\left({x}_{1}\right) > 0$ ,当 ${\varDelta }_{1} > 0$ 时, $ {P}_{1} $ 为不稳定的结点;当 $ {\varDelta }_{1} < 0 $ 时, $ {P}_{1} $ 为不稳定的焦点。

b. $ c < 0 $ ,当 $ p $ 为奇数时,系统(7)有2个奇点 $ {P}_{0}\left(\mathrm{0,0}\right) $ $ {P}_{1}({x}_{1},0) $ 。又因为 $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(\boldsymbol{J}\left({x}_{1},0\right)\right)={f}{{'}}\left({x}_{1}\right) < 0$ ,故 $ {P}_{1} $ 为鞍点。

用Poincare变换对系统(7)作无穷远奇点分析,易知在y轴的正负2个方向上有一对无穷远奇点 $ {A}_{1} $ $ {A}_{2} $ 。其中, $ {A}_{1} $ 位于y轴的正半轴, $ {A}_{2} $ 位于y轴的负半轴。当 $ p $ 为偶数时,点 ${A}_{i}(i={1,\;2})$ 周围存在1个双曲型区域;当 $ p $ 为奇数时,点 ${A}_{i}(i={1,\;2})$ 周围存在1个抛物型区域。此外,Poincare圆盘的圆周为轨线。

根据上述定性分析,可以得到系统(7)在 $ \varepsilon + c\delta < 0 $ 条件下的全局相图,如图1所示。


图 1 ${\boldsymbol{\varepsilon +c\delta < 0}}$ 时的全局相图 Fig. 1 Global phase diagrams when ${\boldsymbol{\varepsilon +c\delta < 0 }}$

图1可以得到命题2。

命题2  设 $ \,\varepsilon +c\delta < 0 $ 。若 $ \,c > 0,p $ 为偶数,系统(7)存在2个异宿轨线 $ L({P}_{1},{P}_{0}) $ $ L({P}_{2},{P}_{0}) $ (图1(a)和(b));当 $ p $ 为奇数时,无论 $ c > 0 $ $ c < 0 $ ,系统(7)均存在1个异宿轨线 $ L({P}_{1},{P}_{0}) $ $ L({P}_{0},{P}_{1}) $ (图1(c)~(f))。

由于平面动力系统中的同宿轨和闭轨对应于相应非线性发展方程的钟状孤波解和周期波解,异宿轨对应于扭状孤波解或振荡行波解等。因此,由命题2和图1可以得到定理1和定理2。

定理1  设 $ \varepsilon +c\delta < 0 $ ,若 $ c > 0,p $ 为偶数,方程(1)有2个有界行波解(对应于图1(a)和(b)中的异宿轨线 $ L({P}_{1},{P}_{0}) $ $ L({P}_{2},{P}_{0}) $ );当 $ p $ 为奇数时,无论 $ c > 0 $ $ c < 0 $ ,方程(1)均有1个有界行波解(对应于图1(c) ~ (f)中的异宿轨线)。

现给出方程(1)的有界行波解受耗散作用影响的有关结论。

定理2  假设 $ p $ 为偶数,且波速 $ c > 0 $

a. $ \varepsilon +c\delta < -2\sqrt{pc} $ 时,方程(1)的2个有界行波解是单调的,其一表现为单调递减的扭状孤波解 $ u\left(\xi \right) $ ,满足 $ u\left(-\infty \right)={x}_{1} $ $ u\left(+\infty \right)=0 $ (对应于图1(a)中的轨线 $ L({P}_{1},{P}_{0}) $ );而另一个表现为单调递增的扭状孤波解 $ u\left(\xi \right) $ ,满足 $ u\left(-\infty \right)={x}_{2} $ $ u\left(+\infty \right)=0 $ (对应于图1(a)中的轨线 $ L({P}_{2},{P}_{0}) $ )。

b. $ -2\sqrt{pc} < \varepsilon +c\delta < 0 $ 时,方程(1)的2个行波解具有振荡性。

(a) 对应图1(b)中轨线 $ L({P}_{1},{P}_{0}) $ 的解 $ u\left(\xi \right) $ 满足 $ u\left(-\infty \right)={x}_{1} $ $ u\left(+\infty \right)=0 $ 。该解具有性质:存在最大值点 $ {\hat{\xi }}_{1} $ ,使得点 $ {\hat{\xi }}_{1} $ 的右端具有单调递减性,左端具有衰减振荡性,即存在无穷多个极大值点 ${\hat{\xi }}_{i}(i= 1, 2,\cdots ,+\infty )$ 和极小值点 ${\check{\xi }}_{i}(i=\mathrm{1,2},\cdots ,+\infty )$ ,使得

$ \left\{\begin{array}{l}-\infty < \dots < {\check{\xi }}_{n} < {\hat{\xi }}_{n} < \dots < {\check{\xi }}_{1} < {\hat{\xi }}_{1} < +\infty \\ \underset{n\to\infty }{\mathrm{lim}}\,{\check{\xi }}_{n}=\underset{n\to\infty }{\mathrm{lim}}\,{\hat{\xi }}_{n}=-\infty \end{array}\right. $ (8)
$ \left\{\begin{array}{l}u\left(+\infty \right) < u\left({\check{\xi }}_{1}\right) < \dots < u\left({\check{\xi }}_{n}\right) < \dots < u\left(-\mathrm{\infty }\right) <\\\quad \dots < u\left({\hat{\xi }}_{n}\right) < \dots < u\left({\hat{\xi }}_{1}\right)\\ \underset{n\to\infty }{\mathrm{lim}}\,u({\check{\xi }}_{n})=\underset{n\to\infty }{\mathrm{lim}}\,u\left({\hat{\xi }}_{n}\right)=u\left(-\mathrm{\infty }\right)\end{array}\right.$ (9)
$ \begin{split}& \underset{n\to \infty }{\mathrm{lim}}({\check{\xi }}_{n}-{\check{\xi }}_{n+1})=\underset{n\to\infty }{\mathrm{lim}}\left({\hat{\xi }}_{n}-{\hat{\xi }}_{n+1}\right)=\\&\qquad\qquad\frac{4\text{π} }{\sqrt{4pc-{\left(\varepsilon +c\delta \right)}^{2}}} \end{split}$ (10)

(b)对应图1(b)中轨线 $ L({P}_{2},{P}_{0}) $ 的解 $ u\left(\xi \right) $ 满足 $ u\left(-\infty \right)={x}_{2} $ $ u\left(+\infty \right)=0 $ 。该解具有性质:存在最小值点 $ {\check{\xi }}_{1} $ ,使得点 $ {\check{\xi }}_{1} $ 的右端具有单调递增性,左端具有衰减振荡性,即存在无穷多个极大值点 ${\hat{\xi }}_{i}(i= \mathrm{1,2},\cdots ,+\infty )$ 和极小值点 $ {\check{\xi }}_{i}(i=\mathrm{1,2},\cdots ,+\infty ) $ ,使得

$\left\{\begin{array}{l}-\infty < \dots < {\hat{\xi }}_{n} < {\check{\xi }}_{n} < \dots < {\hat{\xi }}_{1} < {\check{\xi }}_{1} < +\infty \\ \underset{n\to\infty }{\mathrm{lim}}\;{\check{\xi }}_{n}=\underset{n\to\infty }{\mathrm{lim}}\;{\hat{\xi }}_{n}=-\infty \end{array}\right. $ (11)
$ \left\{\begin{array}{l}u\left({\check{\xi }}_{1}\right) < \dots < u\left({\check{\xi }}_{n}\right) < \dots < u\left(-\mathrm{\infty }\right) < \dots <\\\qquad\quad u\left({\hat{\xi }}_{n}\right) < \dots < u\left({\hat{\xi }}_{1}\right) < u\left(+\infty \right)\\ \underset{n\to\infty }{\mathrm{lim}}u({\check{\xi }}_{n})=\underset{n\to\infty }{\mathrm{lim}}u\left({\hat{\xi }}_{n}\right)=u\left(-\mathrm{\infty }\right)\end{array}\right. $ (12)

并且使得式(10)成立。

证明  证明定理2的结论a。对方程(6)作变换, $ V\left(\xi \right)=\dfrac{u\left(\xi \right)-{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}} $ ,其中, $ {x}_{1}={\left(c/\beta \right)}^{1/p} $ $ {x}_{2}=-{x}_{1} $ ,则有

$ \begin{split}& {V}{{'}{'}}\left(\xi \right)+\left(\varepsilon +c\delta \right){V}{{'}}\left(\xi \right)+{2}^{p}c\left(V\left(\xi \right)-\frac{1}{2}\right)\cdot\\&\qquad \left[{\left(V\left(\xi \right)-\frac{1}{2}\right)}^{p}-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{p}\right]=0 \end{split}$ (13)

如果 $ p $ 为偶数,式(13)等价于

$\begin{split}& {V}{{'}{'}}\left(\xi \right)+\left(\varepsilon +c\delta \right){V}{{'}}\left(\xi \right)+{2}^{p}cV\left(\xi \right)\cdot\\&\qquad\left(V\left(\xi \right)-\frac{1}{2}\right)\left(V\left(\xi \right)-1\right) \left[{\left(V\left(\xi \right)-\frac{1}{2}\right)}^{p-2}+\right.\\&\left.\qquad{\left(V\left(\xi \right)-\frac{1}{2}\right)}^{p-4}\frac{1}{4}+\dots +{\left(\frac{1}{2}\right)}^{p-2}\right]=0 \end{split}$ (14)

显然,如果 $ p $ 为偶数,那么, $ {P}_{1}{{'}}\left(\mathrm{0,0}\right) $ ${P}_{2}{{'}}\left(\dfrac{1}{2},0\right)$ $ {P}_{3}{{'}}\left(\mathrm{1,0}\right) $ 是式(14)所对应系统的奇点,它们分别对应系统(7)的奇点 $ {P}_{1}({x}_{2},0) $ $ {P}_{2}\left(\mathrm{0,0}\right) $ $ {P}_{3}({x}_{1},0) $ 。由于线性变换保留了奇点的性质,所以,前面给出的关于奇点 $ {P}_{i}(i=\mathrm{1,2},3) $ 的性质在相应的条件下对 $ {P}_{i}{{'}}(i={1,\;2},\;3) $ 同样成立。

由前面的定性分析可知,式(6)不存在满足 $ u\left(-\infty \right)=u\left(+\infty \right) $ 的有界解,在 $ p $ 为偶数且 $ c > 0 $ 的情况下,它只有满足以下两种情况的有界解:

$ ({\rm{A}}) \quad u\left(-\infty \right)={x}_{1} \text{,} u\left(+\infty \right)=0 $
$ ({\rm{B}})\quad u\left(-\infty \right)={x}_{2} \text{,} u\left(+\infty \right)=0 $

由此,相对应的方程(13)或方程(14)就只可能存在满足下列情况的有界解:

$ \left({\mathrm{A}}_{1}\right)\quad {V}\left(-\infty \right)=1 \text{,} {V}\left(+\infty \right)=1/2 $
$ \left({\mathrm{B}}_{1}\right)\quad {V}\left(-\infty \right)=0 \text{,} {V}\left(+\infty \right)=1/2 $

以下的证明将使用引理1。

引理1  假设 $g\in {C}^{1}\left[\mathrm{0,1}\right]$ $g\left(0\right) = g\left(1\right)= 0$ $ {g}{{'}}\left(0\right) > 0 $ $ {g}{{'}}\left(1\right) < 0 $ ,对任意 $ u\in \left(\mathrm{0,1}\right) $ $ g\left(u\right) > 0 $ 成立。则存在 $ {r}^{*} $ 满足

$ -2\sqrt{{\rm{sup}}\;\frac{g\left(u\right)}{u}}\leqslant {r}^{*}\leqslant -2\sqrt{{g}{{'}}\left(0\right)} $ (15)

使得下列问题:

$ \left\{\begin{array}{l}{u}{{'}{'}}+r{u}{{'}}+g\left(u\right)=0\\ \left(-\infty \right)=0,u\left(+\infty \right)=1\end{array}\right. $

存在单调解的充要条件是 $ {r\leqslant r}^{*} $

引理1引自文献[22-24]。现在来考虑式(13)满足条件 $ \left({\mathrm{A}}_{1}\right) $ 的解。

$ w=2(1-V) $ ,即 $ V=1-(1/2)w $ ,则方程(13)满足条件 $ \left({\mathrm{A}}_{1}\right) $ 的解等价于定解问题

$ \left\{\begin{array}{l}{w}{{'}{'}}+\left(\varepsilon +c\delta \right){w}{{'}}+c\left(w-1\right)\left[{\left(1-w\right)}^{p}-1\right]=0\\ w\left(-\infty \right)=0,\;\;w\left(+\infty \right)=1\end{array}\right. $ (16)

的解。假设 $ g\left(w\right)=c\left(w-1\right)\left[{\left(1-w\right)}^{p}-1\right] $ $ w\in \left[\mathrm{0,1}\right] $ 。很容易证明 $ g\left(0\right)=0 $ $ g\left(1\right)=0 $ 。又 ${g}{{'}}=c[\left(p+1\right)(1- w)^{p}-1]$ $ {g}{{'}}\left(0\right)=pc $ $ {g}{{'}}\left(1\right)=-c < 0 $ ,且对任意 $w\in \left(\mathrm{0,1}\right)$ $ g\left(w\right) > 0 $ 成立。故根据引理1,存在满足式(15)的 $ {r}^{*} $ ,使得当 $ \varepsilon +c\delta \leqslant {r}^{*} $ 时,式(16)存在单调解。

由于

$\begin{split}& {\left(\frac{g\left(w\right)}{w}\right)}^{{'}}=\frac{c\left[{\left(1-w\right)}^{p}\left(pw+1\right)-1\right]}{{w}^{2}}=\frac{cl\left(w\right)}{{w}^{2}},\\&\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\forall w\in \left(\mathrm{0,1}\right) \end{split}$ (17)

其中, $ l\left(w\right)={\left(1-w\right)}^{p}\left(pw+1\right)-1 $ $ w\in \left[\mathrm{0,1}\right] $ 。对任意的 $ w\in \left(\mathrm{0,1}\right) $ ${l}{{'}}\left(w\right) = -p\left(p + 1\right)w{\left(1-w\right)}^{p-1} < 0,\mathrm{又}l\left(0\right) = 0$ ,故对于任意的 $ w\in \left(\mathrm{0,1}\right) $ ,有 $ l\left(w\right) < 0 $

由此据式(17)可知,对任意的 $w \in \left(\mathrm{0,1}\right)$ $(g(w)/ w){{'}} = cl\left(w\right)/{w}^{2} < 0$ ,即 $ g\left(w\right)/w $ $ \left(\mathrm{0,1}\right) $ 上单调递减。所以,有

$ \underset{\left(\mathrm{0,1}\right)}{\mathrm{sup}}\,\frac{g\left(w\right)}{w}=\underset{w\to 0}{\mathrm{lim}}\,\frac{g\left(w\right)}{w}=\underset{w\to 0}{\mathrm{lim}}\,{g}{{'}}\left(w\right)=pc$

再据引理1中的式(15),可知 $ {r}^{*}=-2\sqrt{pc} $ 。由此据引理1可知,当 $ \varepsilon +c\delta \leqslant {r}^{*}=-2\sqrt{pc} $ 时,问题(16)存在单调递增的行波解。

由于 $V\left(\xi \right) = 1-\left(1/2\right)w\left(\xi \right)$ $u\left(\xi \right) = {x}_{2} + ({x}_{1}-{x}_{2})V\left(\xi \right)$ ,故当 $ \varepsilon +c\delta \leqslant -2\sqrt{pc} $ 时,方程(1)满足条件(A)的行波解 $ u\left(\xi \right) $ 表现为单调递减的扭状孤波解。

接下来再考虑式(13)满足条件 $ \left({\mathrm{B}}_{1}\right) $ 的解。令 $\bar{w}=2V$ ,即 $V=\left(1/2\right)\bar{w}$ ,则式(13)满足条件 $ \left({\mathrm{B}}_{1}\right) $ 的解等价于方程

$ \left\{\begin{array}{l}{\bar{w}}{{'}{'}}+\left(\varepsilon +c\delta \right){\bar{w}}{{'}}+c\left(\bar{w}-1\right)\left[{\left(1-\bar{w}\right)}^{p}-1\right]=0\\ \bar{w}\left(-\infty \right)=0,\;\bar{w}\left(+\infty \right)=1\end{array}\right. $ (18)

的解。当 $ p $ 为偶数时,式(16)和式(18)相同。故据对问题(16)的讨论可知,存在 $ {r}^{*}=-2\sqrt{pc} $ ,使当 $ \varepsilon +c\delta \leqslant {r}^{*}=-2\sqrt{pc} $ 时,问题(18)的解 $ \bar{w}\left(\xi \right) $ 单调递增。

由于此时 $V\left(\xi \right)=\left(1/2\right)\bar{w}\left(\xi \right)$ $ V\left(\xi \right) $ 随着 $\bar{w}\left(\xi \right)$ 的增加而增加。由此推知:当 $\varepsilon +c\delta \leqslant -2\sqrt{pc}$ 时,方程(1)满足条件(B)的行波解 $ u\left(\xi \right)={x}_{2}+({x}_{1}-{x}_{2})V\left(\xi \right) $ ,表现为单调递增的扭状孤波解。

现证明定理2的结论b,即当 $ -2\sqrt{pc} < \varepsilon +c\delta < 0 $ 时,方程(1)的行波解具有振荡性。以图1(b)中的焦−鞍轨线 $ L({P}_{1},{P}_{0}) $ 为例,对于图1(b)中的轨线 $ L({P}_{2},{P}_{0}) $ 也可以进行类似的证明。由定理2的结论b的条件可知,此时有 $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(\boldsymbol{J}\left(\mathrm{0,0}\right)\right) < 0$ $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(\boldsymbol{J}\left({x}_{1},0\right)\right) = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(\boldsymbol{J}\left({x}_{2},0\right)\right)=pc$ $ {\varDelta }_{1}={\varDelta }_{2}={\left(\varepsilon +c\delta \right)}^{2}-4pc < 0 $ 。故由平面动力系统理论可知,方程(1)对应的系统(7)的3个奇点具有性质: $ {P}_{0}\left(\mathrm{0,0}\right) $ 为鞍点, $ {P}_{1}({x}_{1},0) $ $ {P}_{0}({x}_{2},0) $ 为不稳定焦点。当 $ \xi \to -\infty $ 时,轨线 $ L({P}_{1},{P}_{0}) $ 螺旋地趋向于 $ {P}_{1} $ 。容易看出,轨线 $ L({P}_{1}, {P}_{0}) $ $ {P}_{1} $ 的右侧与 $ x $ 轴的交点对应于 $ u\left(\xi \right) $ 的极大值点,而在 $ {P}_{1} $ 的左侧与 $ x $ 轴的交点对应于 $ u\left(\xi \right) $ 的极小值点。因此,式(8)和式(9)均成立。此外,当轨线 $ L({P}_{1},{P}_{0}) $ 充分接近 $ {P}_{1} $ 时,其性质趋于系统(7)在点 $ {P}_{1} $ 的线性近似解的性质,绕点 $ {P}_{1} $ 旋转的频率趋于 $\sqrt{4pc-{(\varepsilon +c\delta )}^{2}}/ 4\text{π}$ 。因此,有式(10)成立。

由于行波解 $ u\left(\xi \right) $ 在沿 $ x $ 轴运动时其形状与波速保持不变,不失一般性,假设 $ {\hat{\xi }}_{1}=0 $ $ {\stackrel{ˇ}{\xi }}_{1}=0 $ ,则定理2的结论b所描述的振荡行波解的性态如图2所示。


图 2 ${{ {\boldsymbol{c > 0,}}{\boldsymbol{-2}}\sqrt{{\boldsymbol{pc}}} {\boldsymbol{< \varepsilon +c\delta < 0}}}} $ 时的振荡行波解示意图 Fig. 2 Schematic diagrams of oscillatory traveling wave solutions when ${{{\boldsymbol{c}} > {\boldsymbol{0}},{\boldsymbol{-2}}\sqrt{{\boldsymbol{pc}}} {\boldsymbol{< \varepsilon +c\delta < 0}}}} $

采用同样的方法可以证明定理3。

定理3  假设 $ p $ 为奇数,且波速 $ c > 0 $

a. $ \varepsilon +c\delta < -2\sqrt{pc} $ 时,方程(1)具有单调递减的扭状孤波解 $ u\left(\xi \right) $ ,满足 $ u\left(-\infty \right)={x}_{1} $ $ u\left(+\infty \right)=0 $ $ u\left(\xi \right) $ 对应于图1(c)中的轨线 $ L({P}_{1},{P}_{0} $ )。

b. $ -2\sqrt{pc} < \varepsilon +c\delta < 0 $ 时,方程(1)具有振荡行波解 $ u\left(\xi \right) $ ,满足 $ u\left(-\infty \right)={x}_{1} $ $ u\left(+\infty \right)=0 $ $ u\left(\xi \right) $ 对应于图1(d)中的轨线 $ L({P}_{1},{P}_{0}) $

由定理2和定理3可知,在 $ c > 0,\varepsilon +c\delta < 0 $ 情况下,若记 $ {\lambda }^{*}=2\sqrt{pc} $ ,则 $ {\lambda }^{*} $ 起到了一个临界值的作用,当 $ \left|\varepsilon +c\delta \right| > {\lambda }^{*} $ 时,方程(1)的行波解表现为单调的扭状孤波解;当 $ \left|\varepsilon +c\delta \right| < {\lambda }^{*} $ 时,行波解是衰减振荡的。

用类似的方法可证,在 $ p $ 为奇数, $ c < 0,\;\varepsilon + c\delta < 0 $ 情形有结论: $ \exists \stackrel{-}{\lambda }=2\sqrt{-c} $ ,当 $ \left|\varepsilon +c\delta \right| > 2\sqrt{-c} $ 时,方程(1)具有1个单调递减的扭状孤波解(对应于图1(e)中异宿轨 $ L({P}_{0},{P}_{1}) $ );当 $ \left|\varepsilon +c\delta \right| < 2\sqrt{-c} $ 时,方程(1)具有1个衰减振荡解(对应于图1(f)中焦−鞍轨线 $ L({P}_{0},{P}_{1}) $ )。由于本文的重点是要讨论方程(1)在波速 $ c > 0、\varepsilon +c\delta < 0 $ 情况下单调递减扭状孤波解的渐近稳定性,所以,这里只给出 $ c < 0,\;\varepsilon +c\delta < 0 $ 情形的上述结论而略去其证明。

由定理2和定理3即得推论1。

推论1 无论 $ p $ 为偶数或是奇数,设波速 $ c > 0,\varepsilon +c\delta < 0 $ 。则当 $ \varepsilon +c\delta < -{\lambda }^{*} $ 时,方程(1)具有单调递减的扭状孤波解 $ u\left(\xi \right) $ ,满足 $ u\left(-\infty \right)={x}_{1} $ $ u\left(+\infty \right)=0 $

由此证实了当 $ c > 0,\varepsilon $ $ \delta $ 满足 $ \varepsilon +c\delta < -{\lambda }^{*} $ 时(其中, $ {\lambda }^{*}=2\sqrt{pc} $ ),方程(1)单调递减扭状孤波解的存在性。

3 广义河床流体模型方程扭状孤波解的重要性质

现研究广义河床流体模型方程(1)扭状孤波解的渐近稳定性,给出这种行波解的3个性质。

为了不致混淆,记 $ U\left(\xi \right)=u\left(t,x\right)(\xi =x-ct) $ 是方程(1)在 $ c > 0、\varepsilon +\delta c < -{\lambda }^{*} $ ( $ {\lambda }^{*}=2\sqrt{pc} $ )情形推论1中的单调递减的扭状孤波解。记

$ U\left(\xi \right)\to {u}_{\pm } , \quad \xi \to \pm \infty $

$ {u}_{-}={x}_{1} $ $ {u}_{+}=0 $

$ U\left(\xi \right)=u\left(t,x\right)(\xi =x-ct) $ 代入方程(1),则 $ U\left(\xi \right) $ 满足

$-c{U}_{\xi }+(\varepsilon +\delta c){U}_{\xi \xi }+{U}_{\xi \xi \xi }+f{\left(U\right)}_{\xi }=0 $ (19)

将方程(19)对 $ \xi $ 积分,化为

$ \begin{array}{c}(\varepsilon +\delta c){U}_{\xi }+{U}_{\xi \xi }=cU-f\left(U\right)+a\end{array} $
$ a=-c{u}_{\pm }+f\left({u}_{\pm }\right) $

性质1 设 $ U\left(\xi \right) $ 是单调递减的行波解, $ c $ 是波速,那么,Rankine-Hugoniot条件成立:

$ \begin{array}{c}c\left({u}_+-{u}_-\right)=f\left({u}_+\right)-f\left({u}_-\right)\end{array} $

性质2 设 $ U\left(\xi \right) $ 是单调递减的行波解, $ c $ 是波速,那么,满足Lax-shock条件:

$ {f}{{'}}\left({u}_+\right) < c < {f}{{'}}\left({u}_-\right)$

证明 由于 $ f\left(u\right)=\beta {u}^{p+1} $ ,故 ${f}{{'}}\left(u\right)=\beta (p+1){u}^{p}$ ,且

$ {u}_-=u\left(-\infty \right)={x}_{1}={\left(\frac{c}{\beta }\right)}^{\frac{1}{p}},\;\;{u}_+=u\left(+\infty \right)=0 $

因此,有

$ {f}{{'}}\left({u}_+\right)={f}{{'}}\left(0\right)=0,\;{f}{{'}}\left({u}_-\right)=\beta (p+1){{u}_-^{p}}=c(p+1) $

从而有 $ {f}{{'}}\left({u}_{+}\right) < c < {f}{{'}}\left({u}_{-}\right) $ ,故性质2得证。

性质3 设 $ U\left(\xi \right) $ 是方程(1)的行波解, $ U\left(\xi \right) $ 是方程(1)单调递减的行波解,则存在常数C,使得对任意的 $\xi \in \mathbb{R}$ ,有

$ \begin{array}{c}\left|{U}_{\xi }\left|,\left|{U}_{\xi \xi }\right|\leqslant C\right|{u}_--{u}_+\right|\end{array} $

证明 由于 $ U\left(\xi \right) $ 是单调递减的,则 ${U}_{\xi }\leqslant 0$ $ {u}_{+} < {u}_{-} $ 并且 $ U-{u}_{+} > 0 $ 。将式(19)对 $ \xi $ $ \left(\xi ,+\infty \right) $ 进行积分,则

$ (\varepsilon +\delta c){U}_{\xi }+{U}_{\xi \xi }=f\left(U\right)-f\left({u}_+\right)-c\left(U-{u}_+\right)$ (20)

对式(20)运用积分中值定理,并注意 $ {u}_{+}=0 $ ,可将其化为

$ \begin{split}& {(\varepsilon +\delta c){U}_{\xi }+{U}_{\xi \xi }=f}{{'}}\left({u}_++\theta \left(U-{u}_+\right)\right)\left(U-{u}_+\right)-\\&\qquad c\left(U-{u}_+\right)={(f}{{'}}\left(\theta \left(U-{u}_+\right)-c\right))\left(U-{u}_+\right),\\&\qquad0 < \theta < 1 \end{split} $ (21)

a. ${f}{{'}}\left(\theta \left(U-{u}_{+}\right)\right) > c$ 时,由式(21)可知, $(\varepsilon + \delta c){U}_{\xi }+ {U}_{\xi \xi } > 0$

又因为 $ -c\left(U-{u}_{+}\right) < 0 $ ,由式(20)即可知

$ \begin{array}{c}-c\left(U-{u}_+\right)\leqslant (\varepsilon +\delta c){U}_{\xi }+{U}_{\xi \xi }\leqslant f\left(U\right)-f\left({u}_+\right)\end{array} $

由于 $f\left(U\right)=\beta {U}^{p+1}=\left(\beta {U}^{p}\right)U=\bar{f}\left(U\right)U$ $\bar{f}\left(U\right)$ 作为 $ U $ $\left[0,\;{u}_{-}\right]$ 上的连续函数,有最大值 ${M}_{\bar{f}}$

不妨设 ${M}_{\bar{f}} > 0$ (若 ${M}_{\bar{f}}\leqslant 0,$ 可任取 ${M}_{\bar{f}} > 0$ ),于是有

$ f\left(U\right)=\bar{f}\left(U\right)U < {M}_{\bar{f}} U\leqslant {M}_{f} {u}_-\leqslant C\left|{u}_--{u}_+\right| $

其中, $ C $ 为常数,从而有

$ {c}-C\left|{u}_--{u}_+\right|\leqslant (\varepsilon +\delta c){U}_{\xi }+{U}_{\xi \xi }\leqslant C\left|{u}_--{u}_+\right|$ (22)

将式(22)两边同时乘以 ${{\rm{e}}}^{(\varepsilon +\delta c)\xi }$ ,有

$ \begin{split}& -C{{\rm{e}}}^{(\varepsilon +\delta c)\xi }\left|{u}_--{u}_+\right|\leqslant \frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}\xi }\left({{\rm{e}}}^{(\varepsilon +\delta c)\xi }{U}_{\xi }\right)\leqslant \\&\qquad C{{\rm{e}}}^{(\varepsilon +\delta c)\xi }\left|{u}_--{u}_+\right| \end{split} $ (23)

将式(23)对 $ \xi $ $ \left(\xi ,+\infty \right) $ 上积分,可得

$ \begin{array}{c}\left|{U}_{\xi }\left|\leqslant C\right|{u}_--{u}_+\right|\end{array} $

b. $ {f}{{'}}\left(\theta \left(U-{u}_{+}\right)\right) < c $ 时,有

$ \begin{array}{c}(\varepsilon +\delta c){U}_{\xi }+{U}_{\xi \xi } < 0\end{array} $

易知 $ {f}{{'}}\left(U\right) $ $ \left[{u}_{+},\;{u}_{-}\right] $ 上单调递增,又根据性质2,有 $ {f}{{'}}\left({u}_{+}\right) < c < {f}{{'}}\left({u}_{-}\right) $ ,故 $ {f}{{'}}\left(\theta \left(U-{u}_{+}\right)\right) > 0 $ 。再由式(21)推出

$ -c\left(U-{u}_+\right)\leqslant (\varepsilon +\delta c){U}_{\xi }+{U}_{\xi \xi }$

又因为

$ (\varepsilon +\delta c){U}_{\xi }+{U}_{\xi \xi } < 0\leqslant U-{u}_+ $

$ -c\left(U-{u}_+\right)\leqslant (\varepsilon +\delta c){U}_{\xi }+{U}_{\xi \xi }\leqslant U-{u}_+ $

故存在常数C,使得

$ -C\left|{u}_--{u}_+\right|\leqslant (\varepsilon +\delta c){U}_{\xi }+{U}_{\xi \xi }\leqslant C\left|{u}_--{u}_+\right| $ (24)

现将式(24)两边同乘 $ {{\rm{e}}}^{(\varepsilon +\delta c)\xi } $ ,有

$\begin{split} & -C{{\rm{e}}}^{(\varepsilon +\delta c)\xi }\left|{u}_--{u}_+\right|\leqslant \frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}\xi }\left({{\rm{e}}}^{(\varepsilon +\delta c)\xi }{U}_{\xi }\right)\leqslant\\&\qquad C{{\rm{e}}}^{(\varepsilon +\delta c)\xi }\left|{u}_--{u}_+\right| \end{split} $ (25)

将式(25)对 $ \xi $ $ \left(\xi ,+\infty \right) $ 上积分,即得

$ \left|{U}_{\xi }\left|\leqslant C\right|{u}_--{u}_+\right| $

又因为

$ \begin{split}& {U}_{\xi \xi }=\underset{\delta \to 0}{\mathrm{lim}}\;\frac{{U}_{\xi }\left(\xi +\delta \right)-{U}_{\xi }\left(\xi \right)}{\delta } \\& \left|{U}_{\xi \xi }\right|=\left|\underset{\delta \to 0}{\mathrm{lim}}\;\frac{{U}_{\xi }\left(\xi +\delta \right)-{U}_{\xi }\left(\xi \right)}{\delta }\right| \end{split} $

从而有

$ \left|{U}_{\xi \xi }\right|\leqslant \frac{1}{\left|\delta \right|}\left[\left|{U}_{\xi }\left(\xi +\delta \right)\right|+\left|{U}_{\xi }\left(\xi \right)\right|\right]\leqslant \frac{1}{\left|\delta \right|} 2C\left|{u}_--{u}_+\right| $

$\dfrac{1}{\left|\delta \right|}2C$ $ C $ 中的最大者仍记为 $ C $ ,则有 $|{U}_{\xi \xi }|\leqslant C|{u}_{-}-{u}_{+}|$ 。性质3得证。

4 单调递减扭状孤波解渐近稳定性定理

考虑方程(1)的初值问题,初值条件为

$ \begin{array}{c}u\left(0,x\right)={u}_{0}\left(x\right)\end{array} $

这里 $ {u}_{0} $ 是有界可测函数,满足

$ \begin{array}{c}{u}_{0}\left(x\right)\to {u}_{\pm },x\to \pm \infty \end{array} $

$ U $ 为单调递减扭状孤波解,假定

$ {u}_{0}-U\in {H}^{1} $ (26)

并且对任意 $ x\in \mathbb{R} $ ,有

$ {\mathrm{\varPhi }}_{0}\left(x\right)={\int }_{-\infty }^{x}\left({u}_{0}-U\right)\left(y\right){\rm{d}}y,\qquad{\mathrm{\varPhi }}_{0}\in {L}^{2}$ (27)

条件式(26)和式(27)意味着

$ \begin{array}{c}\underset{x\to +\infty }{\mathrm{lim}}{\mathrm{\varPhi }}_{0}\left(x\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }\left({u}_{0}-U\right)\left(y\right){\rm{d}}y=0\end{array} $

定理4 (渐近稳定性定律) 设 $ U\left(\xi \right)(\xi =x-ct) $ 是方程(1)在 $ \varepsilon +\delta c < -{\lambda }^{*} $ 情形下的单调递减扭状孤波解,初值 $ {u}_{0} $ 满足式(26)和式(27)。记

$ \begin{array}{c}{N}_{0}={\|{u}_{0}-U\|}_{{H}^{1}}+{\|{\mathrm{\varPhi }}_{0}\|}_{{H}^{2}}\end{array} $

则存在与 $ {u}_{\pm } $ 无关的常数 $ {\mu }_{1} $ ${\gamma }_{1}\left({\gamma }_{1}\leqslant \left|{u}_{-}-{u}_{+}\right|\right)$ $ {u}_{\pm } $ ,使得当 $\left|{u}_{-}-{u}_{+}\right|\leqslant{\mu }_{1}$ ${N}_{0}\leqslant{\gamma }_{1}$ 时,方程(1)带有初值 $ {u}_{0}\left(x\right) $ 的初值问题的解 $ u\left(t,x\right) $ 是全局唯一存在的,并且有

$ u-U\in {C}^{0}\left(0,\infty ;{H}^{1}\right)\cap {L}^{2}\left(0,\infty ;{H}^{2}\right) $ (28)

进一步,该解以最大范数的形式趋近于行波解

$\underset{x\in {\mathbb{R}}}{\mathrm{sup}}\left|u\left(t,x\right)-U\left(x-ct\right)\right|\to 0,\quad t\to +\infty $ (29)

为了证明定理4,首先构造扰动方程。

$ u\left(t,x\right)=U\left(\xi \right)+\psi \left(t,\xi \right),\;\xi =x-ct $ 代入方程(1),并注意到 $ U\left(\xi \right) $ 是方程(1)的孤波解,可得 $ \psi \left(t,\xi \right) $ 满足

$ \left\{\begin{array}{l}{\psi }_{t}-c{\psi }_{\xi }+\left(\varepsilon +\delta c\right){\psi }_{\xi \xi }-\delta {\psi }_{t\xi }+{\psi }_{\xi \xi \xi }+\\\quad{\left(f\left(U+\psi \right)-f\left(U\right)\right)}_{\xi }=0\\ \psi \left(0,\xi \right)={\psi }_{0}\left(\xi \right)=\left({u}_{0}-U\right)\left(\xi \right)\end{array}\right.$ (30)

于是问题(29)就化为证明 $\underset{x\in {\mathbb{R}}}{\mathrm{sup}}\left|\psi \left(t,\xi \right)\right|\to 0,t\to \infty$ 。令

$ \begin{array}{c}\psi ={\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\end{array} $

代入式(30)的第一式,则有

$ \begin{split}& {\mathrm{\varPhi }}_{t\xi }-c{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }+\left(\varepsilon +\delta c\right){\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi \xi }-\delta {\mathrm{\varPhi }}_{t\xi \xi }+{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi \xi \xi }+\\&\qquad{\left(f\left(U+{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\right)-f\left(U\right)\right)}_{\xi }=0 \end{split} $ (31)

将式(31)对 $ \xi $ 进行积分,并令积分常数为0,则有

$ \begin{split}& {\mathrm{\varPhi }}_{t}-c{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }+\left(\varepsilon +\delta c\right){\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }-\delta {\mathrm{\varPhi }}_{t\xi }+{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi \xi }+\\&\qquad \left(f\left(U+{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\right)-f\left(U\right)\right)=0 \end{split}$ (32)

将式(32)线性化,则有

$ \begin{split}& {\mathrm{\varPhi }}_{t}-c{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }+\left(\varepsilon +\delta c\right){\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }-\delta {\mathrm{\varPhi }}_{t\xi }+{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi \xi }+\\&\qquad{f}{{'}}\left(U\right){\mathrm{\varPhi }}_{\xi }=F\left(U,{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\right) \end{split} $ (33)

其中, $F\left(U,{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\right)=-\left(f\left(U+{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\right)-f\left(U\right)\right)+{f}{{'}}\left(U\right){\mathrm{\varPhi }}_{\xi }$ ,而原来的初值就转化为

$ \varPhi \left(0,\;\mathrm{\xi }\right)={\mathrm{\varPhi }}_{0}\left(\xi \right) $ (34)

定义初值问题(32)和问题(34)的解空间为

$ \begin{array}{c}X\left(0,T\right)=\left\{\mathrm{\varPhi }\in {L}^{\infty }\left(0,T;{H}^{2}\right),\;\;{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\in {L}^{2}\left(0,T;{H}^{2}\right)\right\}\end{array} $

相应的范数为 $ N\left(t\right)=\underset{0\leqslant \tau \leqslant t}{\mathrm{sup}}\left\{{\|\mathrm{\varPhi }\left(\tau \right)\|}_{{H}^{2}}+{‖{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\left(\tau \right)‖}_{{H}^{1}}\right\}$ 。为方便,记 $ N\left(0\right) $ $ {N}_{0} $

定理4的证明可分成扰动方程初值问题(32)和问题(34)解的整体存在性和渐近稳定性两部分。先给出初值问题(32)和问题(34)解的整体存在性。

定理5 假设 $ {\mathrm{\varPhi }}_{0}\in {H}^{2} $ ,则存在与 $ {u}_{\pm } $ 无关的常数 ${\mu }_{1},{\gamma }_{1}\left({\gamma }_{1}\leqslant {\gamma }_{0}\right)$ 和正常数 $ {C}_{1} $ ,使得当 $\left|{u}_{-}-{u}_{+}\right|\leqslant {\mu }_{1}$ $ {N}_{0}={\|{\mathrm{\varPhi }}_{0}\|}_{{H}^{2}}+{\|{\mathrm{\varPhi }}_{0\xi }\|}_{{H}^{1}}\leqslant {\gamma }_{1} $ ,初值问题(32)和问题(34)的解 $ \mathrm{\varPhi } $ $ X\left(0,\mathrm{\infty }\right) $ 中是全局唯一存在的,且对任意的 $ t\in \left[0,\infty \right) $ 满足

$ {\|\mathrm{\varPhi }\|}_{{H}^{2}}^{2}+{\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\|}_{{H}^{1}}^{2}+{\int }_{0}^{t}({\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\|}^{2}+{\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }\|}^{2}+{\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi \xi }\|}^{2}){\rm{d}}\tau \leqslant {C}_{1}{N}_{0}^{2} $

其中, $ {\mathrm{\varPhi }}_{\xi } $ 由式(31)定义, $ {\mathrm{\varPhi }}_{0\xi } $ 为其初值。

为证明定理5,需要在局部解存在性的基础上给出一致先验估计。关于初值问题(32)和问题(34)的解的局部存在性,有命题3。

命题3 (局部存在性) 假设 ${N}_{0}\leqslant {\gamma }_{0}$ ,则存在正常数 $ {T}_{0}\left({\gamma }_{0}\right) $ 使得问题(32)和问题(34)有唯一解 $ \mathrm{\varPhi }\in X\left(0,{T}_{0}\right) $ ,且满足

$ N^2(t)+\int_0^t\left(\left\|\varPhi_{\xi}\right\|^2+\left\|\varPhi_{\xi \xi}\right\|^2+\left\|\varPhi_{\xi \xi \xi}\right\|^2\right) {\rm{d}} \tau \leqslant C_1 N_0^2 $

命题3可以利用Galerkin方法或不动点定理按标准方法进行证明(可参考文献[25-26]等)。这里由于篇幅限制,省略证明过程。

在以下的推理过程中将用到2个不等式,现以引理的形式给出。

引理2(Young不等式[27]) 令 $ a\geqslant 0,b\geqslant 0 $ ,且 $ \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1\left(p > 1,\;q < +\infty \right) $ ,则有下列不等式成立:

$ ab\leqslant\theta {a}^{p}+C\left(\theta \right){b}^{q} $

其中, $ \theta > 0 $ 是任意常数,且 $C\left(\theta \right)=\dfrac{1}{q}{\left(\theta p\right)}^{-\frac{q}{p}}$

引理3 (Gagliardo-Nirenberg不等式[28]) 假设 $ u\in {L}^{P}\left({R}^{n}\right) $ $ {D}^{m}u\in {L}^{q}\left({R}^{n}\right) $ $1\leqslant p,\;q < \infty$ 。则对任意 $j\left(0\leqslant j\leqslant m\right),$

$ {\|{D}^{j}u\|}_{r}\leqslant C{\|u\|}_{p}^{1-\lambda }{\|{D}^{m}u\|}_{q}^{\lambda } $

其中,

$ \frac{1}{r}-\frac{j}{n}=\lambda \left(\frac{1}{q}-\frac{m}{n}\right)+\left(1-\lambda \right)\frac{1}{p},\;\frac{j}{m}\leqslant \lambda \leqslant 1 $

$ m-\dfrac{n}{q}=j,1 < q < \infty ,\lambda \ne 1 $

现给出解的一致先验估计。为了达到这个目的,首先给出先验假设

$ N\left(t\right)=\underset{0\leqslant \tau \leqslant t}{\mathrm{sup}}\left\{{\|\mathrm{\varPhi }\left(\tau \right)\|}_{{H}^{2}}+{\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\left(\tau \right)\|}_{{H}^{1}}\right\}\leqslant {\gamma }_{2}^{2}$ (35)

其中, $ {\gamma }_{2} $ 待定。根据式(35),利用Gagliardo-Nirenberg不等式,有

$ \underset{0\leqslant \tau \leqslant t}{\mathrm{sup}}{\|{ \partial }_{x}^{k}\mathrm{\varPhi }\left(\tau \right)\|}_{{L}^{\infty }}\leqslant C{\gamma }_{2},\quad k={0,\;1} $

可以得到如下一致先验估计(命题4)。

命题4 (先验估计) 设 $ \mathrm{\varPhi }\in X\left(0,T\right)(T > 0) $ 是初值问题(32)和问题(34)的解,则存在与 $ {u}_{\pm } $ 无关的适当小的正常数 ${\mu }_{2},{\gamma }_{2}\left({\gamma }_{2}\leqslant {\gamma }_{0}\right)$ 和正常数 $ {C}_{2} $ ,使得当 $\left|{u}_{-}-{u}_{+}\right|\leqslant {\mu }_{2},\;N\left(t\right)\leqslant {\gamma }_{2}$ 时,下面估计式对 $ t\in \left[0,T\right] $ 成立。

$\begin{split}& {N}^{2}\left(t\right)+{\lambda }^{*}{\int }_{0}^{t}\left({\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\|}^{2}+{\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }\|}^{2}+{\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi \xi }\|}^{2}\right){\rm{d}}\tau \leqslant\\&\quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad{C}_{2}{N}_{0}^{2} \end{split} $ (36)

证明 通过对 $ \mathrm{\varPhi } $ 进行低阶和高阶估计来证明式(36)。

a. 低阶先验估计。

$ \mathrm{\varPhi } $ 乘以式(33),有

$ \begin{split}& \varPhi {\mathrm{\varPhi }}_{t}-c\varPhi {\mathrm{\varPhi }}_{\xi }+\left(\varepsilon +\delta c\right)\varPhi {\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }-\delta \varPhi {\mathrm{\varPhi }}_{t\xi }+\varPhi {\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi \xi }+\\&\qquad {f}{{'}}\left(U\right)\varPhi {\mathrm{\varPhi }}_{\xi }=\varPhi F\left(U,{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\right) \end{split} $ (37)

由于

$ \mathrm{\varPhi }{\mathrm{\varPhi }}_{t}=\frac{1}{2}{\left({\mathrm{\varPhi }}^{2}\right)}_{t} $
$ -c\mathrm{\varPhi }{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }=-\frac{c}{2}{\left({\mathrm{\varPhi }}^{2}\right)}_{\xi } $
$ -\delta \mathrm{\varPhi }{\mathrm{\varPhi }}_{t\xi }=\delta {\mathrm{\varPhi }}_{t}{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }+{\left(-\delta \mathrm{\varPhi }{\mathrm{\varPhi }}_{t}\right)}_{\xi } $
$ \begin{split}& \left(\varepsilon +c\delta \right)\mathrm{\varPhi }{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }+\mathrm{\varPhi }{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi \xi }=\mathrm{\varPhi }{\left[\left(\varepsilon +c\delta \right){\mathrm{\varPhi }}_{\xi }+{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }\right]}_{\xi } =\\& \qquad{\left[\mathrm{\varPhi }\left((\varepsilon +c\delta ){\mathrm{\varPhi }}_{\xi }+{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }\right)\right]}_{\xi }-{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\left[(\varepsilon +c\delta ){\mathrm{\varPhi }}_{\xi }+{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }\right] =\\& \qquad{\left[{\left(\frac{1}{2}\left(\varepsilon +c\delta \right){\mathrm{\varPhi }}^{2}\right)}_{\xi }+{\mathrm{\varPhi }\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }-\frac{1}{2}{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }^{2}\right]}_{\xi }+(\varepsilon +c\delta ){\mathrm{\varPhi }}_{\xi }^{2} \end{split}$
$ {f}{{'}}\left(U\right)\mathrm{\varPhi }{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }=\frac{1}{2}{\left({f}{{'}}\left(U\right){\mathrm{\varPhi }}^{2}\right)}_{\xi }-\frac{1}{2}{f}{{'}{'}}\left(U\right){U}_{\xi }{\mathrm{\varPhi }}^{2} $

故式(37)可写为

$ \begin{split}& \frac{1}{2}{\left({\mathrm{\varPhi }}^{2}\right)}_{t}-\left(\varepsilon +c\delta \right){\mathrm{\varPhi }}_{\xi }^{2}+\delta {\mathrm{\varPhi }}_{t}{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }-\frac{1}{2}{f}{{'}{'}}\left(U\right){U}_{\xi }{\mathrm{\varPhi }}^{2}+\\&\qquad{\left\{{Q}_{1}\right\}}_{\xi }=\varPhi F\left(U,{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\right) \end{split} $ (38)

其中,

$ \begin{split}& {Q}_{1}=-\frac{c}{2}{\mathrm{\varPhi }}^{2}-\delta \mathrm{\varPhi }{\mathrm{\varPhi }}_{t}+{\left(\frac{1}{2}\left(\varepsilon +c\delta \right){\mathrm{\varPhi }}^{2}\right)}_{\xi }+\mathrm{\varPhi }{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }-\\&\qquad \frac{1}{2}{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }^{2}+\frac{1}{2}{f}{{'}}\left(U\right){\mathrm{\varPhi }}^{2} \end{split} $

再用 $ \delta {\mathrm{\varPhi }}_{\xi } $ 乘以式(33),有

$ \begin{split}& \delta {\mathrm{\varPhi }}_{\xi }{\mathrm{\varPhi }}_{t}-\delta c{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }^{2}+\delta \left(\varepsilon +\delta c\right){\mathrm{\varPhi }}_{\xi }{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }-{\delta }^{2}{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }{\mathrm{\varPhi }}_{t\xi }+\delta {\mathrm{\varPhi }}_{\xi }{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi \xi }+\\&\qquad \delta {f}{{'}}\left(U\right){\mathrm{\varPhi }}_{\xi }^{2}=\delta {\mathrm{\varPhi }}_{\xi }F\left(U,{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\right) \end{split} $

因为,

$ {{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi \xi }={\left({{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }\right)}_{\xi }-{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }^{2} $

所以,有

$ \begin{split}& -\frac{{\delta }^{2}}{2}{\left({\mathrm{\varPhi }}_{\xi }^{2}\right)}_{t}+\delta {\mathrm{\varPhi }}_{t}{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }+\left(\delta {f}{{'}}\left(U\right)-c\delta \right){\mathrm{\varPhi }}_{\xi }^{2}-\\&\qquad \delta {\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }^{2}+{\left\{{Q}_{2}\right\}}_{\xi }=\delta {\mathrm{\varPhi }}_{\xi }F\left(U,{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\right) \end{split}$ (39)

其中, ${Q}_{2}=\dfrac{1}{2}\delta \left(\varepsilon +c\delta \right){\mathrm{\varPhi }}_{\xi }^{2}+\delta {\mathrm{\varPhi }}_{\xi }{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }$

用式(38)减去式(39),可得

$\begin{split}& {\left\{\frac{1}{2}{\mathrm{\varPhi }}^{2}+\frac{{\delta }^{2}}{2}{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }^{2}\right\}}_{t}-\left(\varepsilon +\delta {f}{{'}}\left(U\right)\right){\mathrm{\varPhi }}_{\xi }^{2}+\delta {\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }^{2}-\\&\qquad \frac{1}{2}{f}{{'}{'}}\left(U\right){U}_{\xi }{\mathrm{\varPhi }}^{2}+{\left\{{Q}_{1}-{Q}_{2}\right\}}_{\xi }=\\&\qquad\varPhi F\left(U,{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\right)-\delta {\mathrm{\varPhi }}_{\xi }F\left(U,{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\right) \end{split} $ (40)

取式(40)等式左边的第二项,有

$ \begin{split}& -\left(\varepsilon +\delta {f}{{'}}\left(U\right)\right){\mathrm{\varPhi }}_{\xi }^{2}=-\left(\varepsilon +\delta {f}{{'}}\left({u}_+\right)\right){\mathrm{\varPhi }}_{\xi }^{2}+\\&\qquad\delta \left({f}{{'}}\left({u}_+\right)-{f}{{'}}\left(U\right)\right){\mathrm{\varPhi }}_{\xi }^{2} \end{split}$

运用积分中值定理,有

$ \begin{split}& -\left(\varepsilon +\delta {f}{{'}}\left(U\right)\right){\mathrm{\varPhi }}_{\xi }^{2}=-\left(\varepsilon +\delta {f}{{'}}\left({u}_+\right)\right){\mathrm{\varPhi }}_{\xi }^{2}+\\&\qquad \delta {f}{{'}{'}}\left(U+\theta \left({u}_+-U\right)\right)\left({u}_+-U\right){\mathrm{\varPhi }}_{\xi }^{2},\;0 < \theta < 1 \end{split}$

又因为 $ U\left(\xi \right) $ 满足性质2和 $ \varepsilon +\delta c < -{\lambda }^{*} $ ,可得

$ \begin{split}& -\left(\varepsilon +\delta {f}{{'}}\left(U\right)\right){\mathrm{\varPhi }}_{\xi }^{2}\geqslant {\lambda }^{*}{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }^{2}+\\& \qquad{f}{{'}{'}}\left(U+\theta \left({u}_+-U\right)\right)\delta ({u}_+-{u}_-){\mathrm{\varPhi }}_{\xi }^{2}\geqslant {\lambda }^{*}{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }^{2}-\\& \qquad{f}{{'}{'}}\left(U+\theta \left({u}_+-U\right)\right)\delta \left|{u}_+-{u}_-\right|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }^{2} \end{split}$ (41)

$ p\geqslant 1 $ 时,由于 $ f\left(U\right) $ $ U $ 的多项式,在包含 $ \left[{u}_{+},{u}_{-}\right] $ 的较大闭区间 $I\subset \mathbb{R}$ 上连续、可微,可设在 $ I $ $ \left|f\left(U\right)\right| $ $ \left|{f}{{'}}\left(U\right)\right| $ $ \left|{f}{{'}{'}}\left(U\right)\right| $ $ \left|{f}{{'}{'}{'}}\left(U\right)\right|\leqslant {C}_{f} $ 。则不妨取 $\left|{u}_{+}-{u}_{-}\right| < \dfrac{{\lambda }^{*}}{2\delta {C}_{f}}$ ,则式(41)可以化为

$\begin{split}& -\left(\varepsilon +\delta {f}{{'}}\left(U\right)\right){\mathrm{\varPhi }}_{\xi }^{2} > {\lambda }^{*}{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }^{2}-{f}{{'}{'}}(U+\theta ({u}_+-\\&\qquad U))\delta \frac{{\lambda }^{*}}{2\delta {C}_{f}}{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }^{2} > \frac{{\lambda }^{*}}{2}{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }^{2} \end{split} $ (42)

将式(42)代入式(40),可得

$\begin{split}& {\left\{\frac{1}{2}{\mathrm{\varPhi }}^{2}+\frac{{\delta }^{2}}{2}{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }^{2}\right\}}_{t}+\frac{{\lambda }^{*}}{2}{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }^{2}+\delta {\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }^{2}-\frac{1}{2}{f}^{{'}{'}}\left(U\right){U}_{\xi }{\mathrm{\varPhi }}^{2}+\\& \qquad {\left\{{Q}_{1}-{Q}_{2}\right\}}_{\xi }\leqslant \varPhi F\left(U,{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\right)-\delta {\mathrm{\varPhi }}_{\xi }F\left(U,{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\right)\\[-12pt] \end{split}$ (43)

将式(43)在 $ \left[0,t\right]\times \mathbb{R} $ 上积分,可得

$ \begin{split}& \frac{1}{2}{\|\mathrm{\varPhi }\|}^{2}+\frac{{\delta }^{2}}{2}{\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\|}^{2}+\\&\qquad{\int }_{0}^{t}{\int }_{\mathbb{R}}\left(\frac{{\lambda }^{*}}{2}{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }^{2}+\delta {\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }^{2}-\frac{1}{2}{f}{{'}{'}}\left(U\right){U}_{\xi }{\mathrm{\varPhi }}^{2}\right){\rm{d}}\xi {\rm{d}}\tau\leqslant\\&\qquad \frac{1}{2}{\|{\mathrm{\varPhi }}_{0}\|}^{2}+\frac{{\delta }^{2}}{2}{\|{\mathrm{\varPhi }}_{0\xi }\|}^{2}+\\&\qquad{\int }_{0}^{t}{\int }_{\mathbb{R}}\left(\mathrm{\varPhi }F\left(U,{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\right)-\delta {\mathrm{\varPhi }}_{\xi }F\left(U,{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\right)\right){\rm{d}}\xi {\rm{d}}\tau \end{split} $

由于 $ U > 0 $ $ {U}_{\xi } < 0 $ ,易知 $-\dfrac{1}{2}{f}{{'}{'}}\left(U\right){U}_{\xi }{\mathrm{\varPhi }}^{2} > 0$ ,有

$\begin{split}& \frac{1}{2}{\|\mathrm{\varPhi }\|}^{2}+\frac{{\delta }^{2}}{2}{\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\|}^{2}+{\int }_{0}^{t}\left(\frac{{\lambda }^{*}}{2}{\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\|}^{2}+\delta {\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }\|}^{2}\right){\rm{d}}\tau\leqslant\\&\quad \frac{1}{2}{\|{\mathrm{\varPhi }}_{0}\|}^{2}+\frac{{\delta }^{2}}{2}{\|{\mathrm{\varPhi }}_{0\xi }\|}^{2}+\\&\quad{\int }_{0}^{t}{\int }_{\mathbb{R}}\left(\left|\mathrm{\varPhi }F\left(U,{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\right)\right|+\left|\delta {\mathrm{\varPhi }}_{\xi }F\left(U,{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\right)\right|\right){\rm{d}}\xi {\rm{d}}\tau\\[-15pt] \end{split} $ (44)

b. 高阶先验估计。

将式(31)线性化,有

$ \begin{split}& {\mathrm{\varPhi }}_{t\xi }-c{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }+\left(\varepsilon +\delta c\right){\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi \xi }-\delta {\mathrm{\varPhi }}_{t\xi \xi }+\\& \qquad {\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi \xi \xi }+{f}{{'}}\left(U\right){\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }=G \end{split} $ (45)

其中,

$ G=\left[{f}{{'}}\left(U\right)-{f}{{'}}\left(U+{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\right)\right]{U}_{\xi }-\left[{f}{\mathrm{{'}}}\left(U+{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\right)-{f}{{'}}\left(U\right)\right]{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }$

(a) 用 $ {\mathrm{\varPhi }}_{\xi } $ 乘以式(45),有

$ \begin{split}& {{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\mathrm{\varPhi }}_{t\xi }-c{{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }+\left(\varepsilon +\delta c\right){{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi \xi }-\delta {{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\mathrm{\varPhi }}_{t\xi \xi }+\\&\qquad+{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi \xi \xi }+{f}{{'}}\left(U\right){\mathrm{\varPhi }}_{\xi }{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }={\mathrm{\varPhi }}_{\xi }G \end{split}$ (46)

类似于式(37)的分析,式(46)可以改写为

$ \begin{split}& \frac{1}{2}{\left({{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }}^{2}\right)}_{t}-\left(\varepsilon +c\delta \right){\left({\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }\right)}^{2}+\delta {\mathrm{\varPhi }}_{t\xi }{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }-\\&\qquad \frac{1}{2}{f}^{{'}{'}}\left(U\right){U}_{\xi }{{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }}^{2}+{\left\{{Q}_{3}\right\}}_{\xi }={\mathrm{\varPhi }}_{\xi }G \end{split}$ (47)

其中,

$ \begin{split}& {Q}_{3}=-\frac{c}{2}{{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }}^{2}-\delta {{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\mathrm{\varPhi }}_{t\xi }+(\varepsilon +c\delta ){{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }+{{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi \xi }-\\& \qquad \frac{1}{2}{\left({\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }\right)}^{2}+\frac{1}{2}{f}{{'}}\left(U\right){\mathrm{\varPhi }}_{\xi }^{2} \end{split}$

(b) 用 $ \delta {\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi } $ 乘以式(45),则可得

$ \begin{split}& {\delta {\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }\mathrm{\varPhi }}_{t\xi }-c\delta {\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }^{2}+\delta \left(\varepsilon +\delta c\right){\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi \xi }-{\delta }^{2}{{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }\mathrm{\varPhi }}_{t\xi \xi }+\\&\qquad +\delta {\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi \xi \xi }+\delta {f}^{{'}}\left(U\right){\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }^{2}=\delta {\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }G \end{split}$

上式可以化为

$ \begin{split}& -\frac{{\delta }^{2}}{2}{\left({\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }^{2}\right)}_{t}+{\delta {\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }\mathrm{\varPhi }}_{t\xi }+\left(\delta {f}{{'}}\left(U\right)-c\delta \right){\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }^{2}-\\&\qquad\delta {\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi \xi }^{2}+{\left\{{Q}_{5}\right\}}_{\xi }=\delta {\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }G \end{split} $ (48)

其中,

$ {Q}_{4}=\frac{1}{2}\delta \left(\varepsilon +c\delta \right){\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }^{2}+\delta {\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi \xi } $

将式(47)减去式(48),可得

$ \begin{split}& {\left\{\frac{1}{2}{{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }}^{2}+\frac{{\delta }^{2}}{2}{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }^{2}\right\}}_{t}-\left(\varepsilon +\delta {f}{{'}}\left(U\right)\right){\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }^{2}+\delta {\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi \xi }^{2}-\\&\qquad\frac{1}{2}{f}{{'}{'}}\left(U\right){U}_{\xi }{{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }}^{2}+{\left\{{Q}_{3}{-Q}_{4}\right\}}_{\xi }=\\&\qquad{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }G-\delta {\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }G \end{split} $ (49)

根据低阶估计式(42),则有

$ -\left(\varepsilon +\delta {f}{{'}}\left(U\right)\right) > \frac{{\lambda }^{*}}{2} $ (50)

将式(50)代入式(49)中,有

$ \begin{split}& {\left\{\frac{1}{2}{{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }}^{2}+\frac{{\delta }^{2}}{2}{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }^{2}\right\}}_{t}+\frac{{\lambda }^{*}}{2}{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }^{2}+\delta {\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi \xi }^{2}-\\&\qquad \frac{1}{2}{f}{{'}{'}}\left(U\right){U}_{\xi }{{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }}^{2}+ +{\left\{{Q}_{3}{-Q}_{4}\right\}}_{\xi }\leqslant\\&\qquad {\mathrm{\varPhi }}_{\xi }G-\delta {\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }G \end{split} $ (51)

由于 $ U > 0 $ $ {U}_{\xi } < 0 $ ,易知 $-\dfrac{1}{2}{f}{{'}{'}}\left(U\right){U}_{\xi }{\mathrm{\varPhi }}^{2} > 0$ ,因此,式(51)可化为

$ \begin{split}& {\left\{\frac{1}{2}{{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }}^{2}+\frac{{\delta }^{2}}{2}{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }^{2}\right\}}_{t}+\frac{{\lambda }^{*}}{2}{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }^{2}+\delta {\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi \xi }^{2}+\\&\qquad{\left\{{Q}_{3}{-Q}_{4}\right\}}_{\xi }\leqslant {\mathrm{\varPhi }}_{\xi }G-\delta {\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }G \end{split} $ (52)

将式(52)在 $ \left[0,t\right]\times \mathbb {R} $ 积分,则有

$ \begin{split}& \frac{1}{2}{\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\|}^{2}+\frac{{\delta }^{2}}{2}{\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }\|}^{2}+{\int }_{0}^{t}\left(\frac{{\lambda }^{*}}{2}{\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }\|}^{2}+\delta {\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi \xi }\|}^{2}\right){\rm{d}}\tau \leqslant\\&\qquad \frac{1}{2}{\|{\mathrm{\varPhi }}_{0\xi }\|}^{2}+\frac{{\delta }^{2}}{2}{\|{\mathrm{\varPhi }}_{0\xi \xi }\|}^{2}+\\&\qquad{\int }_{0}^{t}{\int }_{\mathbb R}\left({\mathrm{\varPhi }}_{\xi }G-\delta {\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }G\right){\rm{d}}\xi {\rm{d}}\tau \\[-12pt] \end{split} $ (53)

将式(53)和式(44)相加,可知存在常数 $ {C}_{2} $ ,使得

$ \begin{split}& \frac{1}{2}{\|\mathrm{\varPhi }\|}^{2}+\left(\frac{{\delta }^{2}}{2}+\frac{1}{2}\right){\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\|}^{2}+\frac{{\delta }^{2}}{2}{\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }\|}^{2} +\\&\qquad {\int }_{0}^{t}\left(\frac{{\lambda }^{*}}{2}{\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\|}^{2}+\left(\delta +\frac{{\lambda }^{*}}{2}\right){\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }\|}^{2}+\delta {\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi \xi }\|}^{2}\right){\rm{d}}\tau \leqslant\\&\qquad \frac{{C}_{2}}{2}\left\{{\|{\mathrm{\varPhi }}_{0}\|}^{2}+({\delta }^{2}+1){\|{\mathrm{\varPhi }}_{0\xi }\|}^{2}+{\delta }^{2}{\|{\mathrm{\varPhi }}_{0\xi \xi }\|}^{2}\right. +\\&\qquad {\int }_{0}^{t}{\int }_{\mathbb R}\Big(\left|\mathrm{\varPhi }F\left(U,{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\right)\right| + \left|\delta {\mathrm{\varPhi }}_{\xi }F\left(U,{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\right)\right| +\Big.\\ &\qquad\left.\left. \left|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }G\right| + \left|\delta {\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }G\right|\right){\rm{d}}\xi {\rm{d}}\tau \right\}\\[-12pt] \end{split}$ (54)

$p\geqslant 1$ 时,由于 $ f\left(U\right) $ $ U $ 的多项式,在包含 $ \left[{u}_{+},{u}_{-}\right] $ 的较大闭区间 $I\subset \mathbb R$ 上连续、可微,可设在 $ I $ $ \left|f\left(U\right)\right| $ $\left|{f}{{'}}\left(U\right)\right|$ $ \left|{f}{{'}{'}}\left(U\right)\right| $ $ \left|{f}{{'}{'}{'}}\left(U\right)\right|\leqslant {C}_{h} $ 。于是运用性质3和Young不等式对式(54)右端积分中的4项有下列估计:

$ \begin{split}& F\left(U,{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\right)=-\left(f\left(U+{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\right)-f\left(U\right)\right)+{f}{{'}}\left(U\right){\mathrm{\varPhi }}_{\xi } =\\& \qquad-{f}{{'}}\left(U+\theta {\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\right){\mathrm{\varPhi }}_{\xi }+{f}{{'}}\left(U\right){\mathrm{\varPhi }}_{\xi } =\\& \qquad-{f}^{{'}{'}}\left(U+\eta \theta {\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\right)\theta {\mathrm{\varPhi }}_{\xi }^{2},\quad 0 < \eta ,\theta < 1 \end{split} $

$ {\int }_{\mathbb R}\mathrm{\varPhi }F\left(U,{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\right){\rm{d}}\xi ={\int }_{\mathbb R}{-f}{{'}{'}}\left(U+\eta \theta {\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\right){\theta \mathrm{\varPhi }\mathrm{\varPhi }}_{\xi }^{2}{\rm{d}}\xi $

所以,

$ \begin{split}& {\int }_{\mathbb R}\left|\mathrm{\varPhi }F\left(U,{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\right)\right|{\rm{d}}\xi \leqslant {\int }_{\mathbb R}\left|\mathrm{\varPhi }\right|\left|{f}{{'}{'}}\left(U+\eta \theta {\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\right)\right|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }^{2}{\rm{d}}\xi \leqslant\\& \qquad {C}_{3}N\left(t\right){\int }_{\mathbb R}{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }^{2}{\rm{d}}\xi \leqslant {C}_{3}N\left(t\right){\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\|}^{2}\\[-12pt] \end{split} $ (55)

运用Gagliardo-Nirenberg不等式[28]的一维情形 ${\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\|}_{{L}^{\infty }}\leqslant C{\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\|}_{2}^{\frac{1}{2}} {\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }\|}_{2}^{\frac{1}{2}}$ ,以及Young不等式,可得

$ \begin{split}& {\int }_{\mathbb R}\left|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }F\left(U,{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\right)\right|{\rm{d}}\xi \leqslant {\int }_{R}\left|{f}{{'}{'}}\left(U+\eta \theta {\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\right){\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\right|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }^{2}{\rm{d}}\xi \leqslant\\&\qquad {C}_{4}N\left(t\right){\int }_{\mathbb R}{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }^{2}{\rm{d}}\xi \leqslant {C}_{4}N\left(t\right){\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\|}^{2}\\[-12pt] \end{split}$ (56)

再考察 ${\int }_{\mathbb R}\left|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }G\right|{\rm{d}}\xi$ ,因为,

$ \begin{split}& G={F}_{\xi }=-\{{f}{{'}}\left(U+{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\right)\left({U}_{\xi }+{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }\right)-{f}{{'}}\left(U\right){U}_{\xi }-\\&\qquad{f}{{'}}\left(U\right){\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }-{f}{{'}{'}}\left(U\right){U}_{\xi }{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\} =\\&\qquad-\{{f}{{'}{'}}\left(U+\theta {\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\right){{U}_{\xi }\mathrm{\varPhi }}_{\xi }+{f}{{'}{'}}\left(U+\theta {\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\right){\mathrm{\varPhi }}_{\xi }{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }-\\&\qquad{f}{{'}{'}}\left(U\right){{U}_{\xi }\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\},\quad 0 < \theta < 1 \end{split}$

类似于式(56)的证明,有

$ \begin{array}{c}{\int }_{\mathbb R}\left|{f}{{'}{'}}\left(U+\theta {\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\right){{U}_{\xi }\mathrm{\varPhi }}_{\xi }^{2}\right|{\rm{d}}\xi \leqslant {C}_{5}N\left(t\right)\left|{u}_--{u}_+\right|{\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\|}^{2}\end{array} $
$ \begin{split}& {\int }_{\mathbb R}\left|{f}{{'}{'}}\left(U+\theta {\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\right){{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\mathrm{\varPhi }}_{\xi }{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }\right|{\rm{d}}\xi \leqslant {C}_{5}N\left(t\right){\int }_{\mathbb R}{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }{\rm{d}}\xi\leqslant\\&\qquad {C}_{6}N\left(t\right)\left({\eta }_{2}{\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\|}^{2}+C\left({\eta }_{2}\right){\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }\|}^{2}\right) \end{split}$
$ {\int }_{\mathbb R}\left|-{f}^{{'}{'}}\left(U\right){{U}_{\xi }\mathrm{\varPhi }}_{\xi }^{2}\right|{\rm{d}}\xi \leqslant {C}_{h}\left|{u}_--{u}_+\right|{\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\|}^{2} $

所以,

$ \begin{split}& {\int }_{\mathbb R}\left|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }G\right|{\rm{d}}\xi \leqslant {C}_{7}N\left(t\right)\left({\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\|}^{2}+{\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }\|}^{2}\right)+\\&\qquad {C}_{8}\left|{u}_--{u}_+\right|{\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\|}^{2} \end{split}$ (57)

类似地,可推得

$\begin{split}& {\int }_{\mathbb R}\left|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }{G}_{\xi }\right|{\rm{d}}\xi \leqslant {C}_{9}N\left(t\right)\left({\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\|}^{2}+{\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }\|}^{2}+{\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi \xi }\|}^{2}\right) +\\&\qquad {C}_{10}\left|{u}_--{u}_+\right|\left({\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\|}^{2}+{\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }\|}^{2}\right)\\[-12pt] \end{split} $ (58)

综合不等式 (55)~(58),对式(54)右端有下列估计:

$\begin{split} &\int_0^t \int_{\mathbb R}\left(\left|\varPhi F\left(U, \varPhi_{\xi}\right)\right|+\left|\delta \varPhi_{\xi} F\left(U, \varPhi_{\xi}\right)\right|+\left|\varPhi_{\xi} G\right|+\left|\delta \varPhi_{\xi \xi} G\right|\right)\cdot\\ &\qquad {\rm{d}} \xi {\rm{d}} \tau\} \leqslant C_{11} N(t) \int_0^t\left(\left\|\varPhi_{\xi}\right\|^2+\left\|\varPhi_{\xi \xi}\right\|^2+\left\|\varPhi_{\xi \xi \xi}\right\|^2\right) {\rm{d}} \tau+ \\ &\qquad C_{12}\left|u_{-}-u_{+}\right| \int_0^t\left(\left\|\varPhi_{\xi}\right\|^2+\left\|\varPhi_{\xi \xi}\right\|^2\right){\rm{ d}} \tau\\[-12pt] \end{split} $ (59)

将式(59)代入式(54),可得

$ \begin{split}& \frac{1}{2}\left({\|\mathrm{\varPhi }\|}^{2}+({\delta }^{2}+1){\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\|}^{2}+{\delta }^{2}{\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }\|}^{2}\right) +\\& \qquad {\int }_{0}^{t}\left(\frac{{\lambda }^{*}}{2}{\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\|}^{2}+\left(\delta +\frac{{\lambda }^{*}}{2}\right){\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }\|}^{2}+\delta {\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi \xi }\|}^{2}\right){\rm{d}}\tau \leqslant\\& \qquad \frac{{C}_{2}}{2}\left\{{\|{\mathrm{\varPhi }}_{0}\|}^{2}+({\delta }^{2}+1){\|{\mathrm{\varPhi }}_{0\xi }\|}^{2}+{\delta }^{2}{\|{\mathrm{\varPhi }}_{0\xi \xi }\|}^{2}\right\} +\\& \qquad\frac{1}{2}{C}_{2}{C}_{11}N\left(t\right){\int }_{0}^{t}\left({\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\|}^{2}+{\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }\|}^{2}+{\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi \xi }\|}^{2}\right){\rm{d}}\tau +\\& \qquad\frac{1}{2}{C}_{2}{C}_{12}\left|{u}_--{u}_+\right|{\int }_{0}^{t}\left({\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\|}^{2}+{\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }\|}^{2}\right){\rm{d}}\tau \end{split}$

在上式中利用先验假设式(35),并取 $ {\mu }_{2} $ $ {\gamma }_{2} $ 适当小,使得 $\dfrac{1}{2}{C}_{2}\left({C}_{11}{\gamma }_{2}+{C}_{12}{\mu }_{2}\right) < {\dfrac{1}{2}\lambda^* }$ ,则当 $\left|{u}_{-}-{u}_{+}\right|\leqslant {\mu }_{2},N\left(t\right)\leqslant {\gamma }_{2}$ 时,先验估计式(36)成立,从而命题4成立。

现在已经得到了初值问题(32)和问题(34)的解的局部存在性和一致先验估计。在此基础上,通过连续性讨论来证明定理5。

定理5的证明 令 ${\gamma }_{1}{\rm{=min}}\left\{\dfrac{{\gamma }_{2}}{\sqrt{{C}_{1}}},\dfrac{{\gamma }_{2}}{\sqrt{\left({C}_{1}+1\right){C}_{2}}}\right\}$ ,根据定理5的条件及 $ {\gamma }_{1} $ 的定义可知, ${N}_{0}\leqslant {\gamma }_{1}\leqslant {\gamma }_{2}\leqslant{\gamma }_{0}$ ,从而满足局部存在性命题3的条件。根据命题3的结论,得到存在 $ {T_0} > 0 $ ,使得当 $ t\in \left[0,{T}_{0}\right] $ 时, $N\left(t\right)\leqslant \sqrt{{C}_{1}}{N}_{0}$ 。又因为 ${N}_{0}\leqslant {\gamma }_{1}$ ,所以, $N\left(t\right)\leqslant \sqrt{{C}_{1}}{N}_{0}\leqslant \sqrt{{C}_{1}}{\gamma }_{1}\leqslant {\gamma }_{2}$ ,从而满足先验估计命题4的条件。根据命题4的结论,得到在 $ \left[0,{T}_{0}\right] $ 上,有 $N\left(t\right)\leqslant \sqrt{{C}_{2}}{N}_{0}$ 。又因为 $ {N}_{0}\leqslant {\gamma }_{1} $ ,所以, $N\left(t\right) \leqslant \sqrt{{C}_{1}}{N}_{0} \leqslant \sqrt{{C}_{2}}{\gamma }_{1} \leqslant \dfrac{{\gamma }_{2}}{\sqrt{{C}_{1}+1}} \leqslant {\gamma }_{2}\leqslant {\gamma }_{0}$ $ t\in [0,{T}_{0}] $ 。特别地,当 $ t={T}_{0} $ 时,有 $ N\left({T}_{0}\right)\leqslant {\gamma }_{0} $ ,满足局部存在性命题3的条件。将 $ t={T}_{0} $ 作为新的初始情况,根据命题3,存在 $ {T}_{0} > 0 $ ,使得当 $ t\in \left[{T}_{0},{2T}_{0}\right] $ 时, $ N\left(t\right)\leqslant \sqrt{{C}_{1}}{N}_{0} $ ,所以, $N\left(t\right)\leqslant \sqrt{{C}_{1}}{N}_{0}\leqslant\sqrt{{C}_{1}}{\gamma }_{1}\leqslant {\gamma }_{2}$ ,从而又一次满足先验估计(命题4)的条件。根据命题4的结论,得到在 $ \left[{T}_{0},{2T}_{0}\right] $ 上,有 $ N\left(t\right)\leqslant \sqrt{{C}_{2}}{N}_{0} $ 。又因为 $ {N}_{0}\leqslant{\gamma }_{1} $ ,所以, $N\left(t\right) \leqslant \sqrt{{C}_{2}}{N}_{0} \leqslant \sqrt{{C}_{2}}{\gamma }_{1} \leqslant \dfrac{{\gamma }_{2}}{\sqrt{{C}_{1}+1}} \leqslant {\gamma }_{2}\leqslant {\gamma }_{0}$ $ t\in \left[{T}_{0},{2T}_{0}\right] $ 。然后将 $ t={2T}_{0} $ 作为新的初始情况,继续进行下去,可以将时间延拓到 $ +\mathrm{\infty } $ 。从而定理5得证。

现给出定理4的证明。

定理4的证明  a. 根据定理5中得到的初值问题(32)和问题(34)的解在 $ X\left(0,+\infty \right) $ 的整体存在性。因为, $\varPhi \in X(0, \infty)=\left\{\varPhi \in L^{\infty}\left(0, \infty ; H^2\right), \varPhi_{\xi} \in L^2\left(0, \infty ; H^2\right)\right\}$ ,又由式(33)可推知 $ \varPhi_t \in L^{\infty}\left(0, \infty ; L^2\right)$ ,于是,根据文献[23]中的引理2.6可推知

$ \mathrm{\varPhi }\in X\left(0,\infty \right)=\left\{\mathrm{\varPhi }\in {C}^{0}\left(0,\infty ;{H}^{2}\right),{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\in {L}^{2}\left(0,\infty ;{H}^{2}\right)\right\} $

由此可知:(a) ${\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\in {L}^{2}\left(0,\infty ;{H}^{2}\right)$ ,即 $\psi \in {L}^{2}(0,\infty ; {H}^{2})$ ;(b) $ \mathrm{\varPhi }\in {C}^{0}\left(0,\infty ;{H}^{2}\right) $ ,从而 $ {\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\in {C}^{0}\left(0,\infty ;{H}^{1}\right) $ ,即 $\psi \in {C}^{0}\left(0,\infty ;{H}^{1}\right)\mathrm{。}\mathrm{故}\mathrm{有}{\mathrm{\varPhi }}_{\xi } \in {C}^{0}\left(0,\infty ;{H}^{1}\right) \cap {L}^{2}\left(0,\infty ;{H}^{2}\right)$ ,即 $ u-U=\psi \in {C}^{0}\left(0,\infty ;{H}^{1}\right)\cap {L}^{2}\left(0,\infty ;{H}^{2}\right) $ 。故定理4中式(28)得证。

b.由式(36)可知, $ {‖{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }‖}_{{H}^{1}} $ 关于 $ t $ 连续, $ { \displaystyle \int }_{0}^{+\infty }{\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\|}_{{H}^{2}}^{2}{\rm{d}}\tau $ 存在,可以推出

$ {\int }_{0}^{t}\left({\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\|}^{2}+{\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi }\|}^{2}+{\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi \xi \xi }\|}^{2}\right){\rm{d}}\tau \leqslant {C}_{2}{N}_{0}^{2} $

则对任意的 $\, t > 0$ ,有

$ {\int }_{0}^{t}{\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\|}_{{H}^{2}}^{2}{\rm{d}}\tau \leqslant {C}_{2}{N}_{0}^{2} $

由于被积函数非负,可知 $ {‖{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }‖}_{{H}^{2}}^{2} $ 关于 $ t $ $ \left[0,\mathrm{\infty }\right) $ 上可积,即有

$ \underset{t\to \infty }{\mathrm{lim}}{\;\|{\mathrm{\varPhi }}_{\xi }\left(t\right)\|}_{{H}^{2}}^{2}=0$ (60)

应用Gagliardo-Nirenberg不等式[28]于一维情形,有

$ \left\|\varPhi_{\xi}\right\|_{L^{\infty}(\mathbb R)} \leqslant C\left\|\varPhi_{\xi}\right\|_{L^2(\mathbb R)}^{\frac{1}{2}} \left\|\varPhi_{\xi \xi}\right\|_{L^2(\mathbb R)}^{\frac{1}{2}}$

由此据式(60)即可推得

$ \underset{x\in \mathbb R}{\mathrm{sup}}\;\left|u\left(t,x\right)-U\left(x-ct\right)\right|=\underset{x\in \mathbb R}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\;\left|\psi \right|\to 0 ,\quad t\to \infty $

故定理4得证。

通过以上对定理4的证明,可得出广义河床流体模型方程(1)的单调递减扭状孤波解具有渐近稳定性。

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