上海理工大学学报  2022, Vol. 44 Issue (5): 490-496   PDF    
涉及导曲线与分担超平面的正规定则
范楚君, 刘晓俊     
上海理工大学 理学院 上海 200093
摘要: 基于值分布和正规族理论以及高等代数相关知识,研究了全纯曲线族及其导曲线分担处于 $ t $ 次一般位置的超平面的正规定则。设 $ \mathcal{F} $ 是一族从区域 $ D \subset \mathbb{C} $ ${\mathbb{P}}^{N}(\mathbb{C})$ 的全纯曲线, ${H_\ell } = $ $ \left\{ {{\boldsymbol{x}} \in {\mathbb{P}^N}(\mathbb{C}):} \right.\left. {\left\langle {{\boldsymbol{x}},{{\boldsymbol{\alpha}} _\ell }} \right\rangle = {\text{0}}} \right\}$ $ {\mathbb{P}^N}(\mathbb{C}) $ 中处于 $ t $ 次一般位置的超平面, ${{\boldsymbol{\alpha}} _\ell } = {\left( {{a_{\ell 0}},{a_{\ell 1}}, \cdots ,{a_{\ell N}}} \right)^{\text{T}}},{\text{ }}\ell = 1,2, \cdots ,3t + 1$ $ {H_0} = \left\{ {{x_0} = {\text{0}}} \right\} $ $t\geqslant N$ 。假定对任意的 $ f \in \mathcal{F} $ 满足条件:若 $ f(z) \in {H_\ell } $ ,则 $ \nabla f(z) \in {H_\ell } $ $ \ell = 1,2, \cdots ,3t + 1 $ ;若 $f(z) \in \displaystyle \bigcup\limits_{\ell = 1}^{3t + 1} {{H_\ell }}$ ,则 $\dfrac{\left|\langle f(z),{H}_{0}\rangle \right|}{\Vert f(z)\Vert \cdot \Vert {H}_{0}\Vert }\geqslant\delta$ ,其中, $ \delta \in \left(0,1\right) $ 且为常数。那么, $ \mathcal{F} $ $ D $ 上正规。对于 $ N = 3 $ $ t = 3,4,5 $ 的特殊情形,本文有效降低了所分担超平面的个数。
关键词: 正规族     全纯曲线     t次一般位置     导曲线     分担超平面    
Normal criteria relating to derived curves and shared hyperplanes
FAN Chujun, LIU Xiaojun     
College of Science, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China
Abstract: Based on the theories of value distribution, normal family and the knowledge of advanced algebra, the normal criteria for the holomorphic curves and their derived curves sharing hyperplanes located in t-subgeneral position was studied. Let $ \mathcal{F} $ be a family of holomorphic curves of a domain $ D \subset \mathbb{C} $ to $ {\mathbb{P}^N}(\mathbb{C}) $ , ${H_\ell } =\{ {{\boldsymbol{x}} \in {\mathbb{P}^N}(\mathbb{C}):} \left. {\left\langle {{\boldsymbol{x}},{{\boldsymbol{\alpha}} _\ell }} \right\rangle = 0} \right\}$ be hyperplanes in $ {\mathbb{P}^N}(\mathbb{C}) $ located in t-subgeneral position, where ${{\boldsymbol{\alpha}} _\ell } = {\left( {{a_{\ell 0}},{a_{\ell 1}}, \cdots ,{a_{\ell N}}} \right)^{\text{T}}}$ , $ \ell = 1,2, \cdots ,3t + 1 $ , $ {H_0} = \left\{ {{x_0} = 0} \right\} $ , $t\geqslant N$ . Assume the following conditions hold for every $ f \in \mathcal{F} $ : If $ f(z) \in {H_\ell } $ , then $ \nabla f(z) \in {H_\ell } $ , $ \ell = 1,2, \cdots ,3t + 1 $ ; If $f(z) \in\displaystyle \bigcup\limits_{\ell = 1}^{3t + 1} {{H_\ell }}$ , then $\dfrac{\left|\langle f(z),{H}_{0}\rangle \right|}{\Vert f(z)\Vert \cdot \Vert {H}_{0}\Vert }\geqslant \delta$ , where $ \delta \in \left(0, 1\right) $ is a constant. Then $ \mathcal{F} $ is normal on $ D $ . For the special case of $ N = 3 $ and $ t = 3,4,5 $ , the number of shared hyperplanes can be effectively reduced through this research.
Key words: normal family     holomorphic curves     t-subgeneral position     derived curves     shared hyperplanes    
1 问题的提出

正规族理论的核心问题是关于正规定则的研究,其发展主要分为两大板块:一是亚纯函数正规族的研究,这方面的主要方法有Zalcman引理以及涉及导数的Pang-Zalcman引理;二是关于一般复流形间全纯映射族的正规定则。

2015年,Ye等[1]考虑全纯曲线 $ f $ 与其导曲线 $ \nabla f(z) $ “强分担”超平面的情形,证明了定理1。

定理1  设 $ \mathcal{F} \subset \mathcal{H}\left( {D;{\mathbb{P}^N}(\mathbb{C})} \right) $ 是一族从区域 $D \subset \mathbb{C}$ $ {\mathbb{P}^N}(\mathbb{C}) $ 的全纯曲线, $ {H_1},{H_2}, \cdots ,{H_{2N + 1}} $ $ {\mathbb{P}^N}(\mathbb{C}) $ 中的 $ 2N + 1 $ 个处于一般位置的超平面, $ \delta $ 是一个实数, $ 0 < \delta < 1 $ 。若对于任意的 $ f \in \mathcal{F} $ ,满足以下条件:

a. $ f(z) $ $ \nabla f(z) $ $ D $ 上“强分担” $ {H_j} $ ,其中, $j = 1,2, \cdots ,2N + 1$

b. $f(z) \in \displaystyle \bigcup\limits_{j = 1}^{2N + 1} {{H_j}}$ ,那么, $\dfrac{\left|\langle f(z),{H}_{0}\rangle \right|}{\Vert f(z)\Vert \cdot \Vert {H}_{0}\Vert }\geqslant \delta$ ,其中, $ {H_0} = \left\{ {{x_0} = 0} \right\} $ 是一个坐标超平面。

$ \mathcal{F} $ $ D $ 上正规。

“强分担”超平面 $ H $ ,不仅要求 ${f^{ - 1}}(H) = \nabla {f^{ - 1}}(H)$ ,更要求在满足 $ {f^{ - 1}}(H) = \nabla {f^{ - 1}}(H) $ 的那些点上有 $ f(z) = \nabla f(z) $

2020年,刘晓俊等[2]减弱条件“强分担”并对超平面的第一系数作非零的限制,得到了定理2。

定理2  设 $ \mathcal{F} $ 是一族从区域 $ D \subset \mathbb{C} $ $ {\mathbb{P}^N}(\mathbb{C}) $ 的全纯曲线, ${H_j} = \left\{ {{\boldsymbol{x}} \in {\mathbb{P}^N}(\mathbb{C}):} \right.\left. {\left\langle {{\boldsymbol{x}},{{\boldsymbol{\alpha}} _j}} \right\rangle = 0} \right\}$ $ {\mathbb{P}^N}(\mathbb{C}) $ 中处于一般位置的超平面,其中, ${{\boldsymbol{\alpha}} _j} = {\left( {{a_{j0}}, \cdots ,{a_{jN}}} \right)^{\text{T}}}$ $ {a_{j0}} \ne 0 $ , $j = 1,2,{\text{ }} \cdots {\text{ }},2N + 1$ 。若对于任意的 $ f \in \mathcal{F} $ ,满足以下条件:

a. $ f(z) \in {H_j} $ ,则 $ \nabla f(z) \in {H_j} $ ,其中, $j = 1, 2, \cdots ,2N + 1$

b. $f(z) \in \displaystyle \bigcup\limits_{j = 1}^{2N + 1} {{H_j}}$ ,那么, $ \dfrac{\left|\langle f(z),{H}_{0}\rangle \right|}{\Vert f(z)\Vert \cdot \Vert {H}_{0}\Vert }\geqslant\delta $ ,其中, $ {H_0} = \left\{ {{x_0} = 0} \right\} $ , $ 0 < \delta < 1 $ 是一个常数。

$ \mathcal{F} $ $ D $ 上正规。

问题  若去掉“超平面第一系数非零”这个限制条件,结论是否仍旧成立。

在增加超平面的个数后,对于一般的超平面,得到了定理3。

定理3  设 $ \mathcal{F} $ 是一族从区域 $ D \subset \mathbb{C} $ ${\mathbb{P}}^{N}(\mathbb{C})$ 的全纯曲线, ${H_\ell } = \left\{ {{\boldsymbol{x}} \in {\mathbb{P}^N}(\mathbb{C}):} \right.\left. {\left\langle {{\boldsymbol{x}},{{\boldsymbol{\alpha}} _\ell }} \right\rangle = {\text{0}}} \right\}$ $ {\mathbb{P}^N}(\mathbb{C}) $ 中处于 $ t $ 次一般位置的超平面,其中, ${{\boldsymbol{\alpha}} _\ell }{\text{ = }}{\left( {{a_{\ell 0}},{a_{\ell 1}}, \cdots ,{a_{\ell N}}} \right)^{\text{T}}}{\text{, }} \ell = 1,{\text{2,}} \cdots ,3t + 1,{\text{ }}t \geqslant N$ , $ {H_0} = \left\{ {{x_0} = {\text{0}}} \right\} $ 。若对任意的 $ f \in \mathcal{F} $ ,有:

a. $ f(z) \in {H_\ell } $ ,则 $ \nabla f(z) \in {H_\ell } $ ,其中, $ \ell = 1,2, \cdots , 3t + 1 $

b. $f(z) \in \displaystyle \bigcup\limits_{\ell = 1}^{3t + 1} {{H_\ell }}$ ,则 $\dfrac{\left|\langle f(z),{H}_{0}\rangle \right|}{\Vert f(z)\Vert \cdot \Vert {H}_{0}\Vert }\geqslant\delta$ ,其中, $ 0 < \delta < 1 $ 是一个常数, $ {H_0} = \left\{ {{x_0} = 0} \right\} $

$ \mathcal{F} $ $ D $ 上正规。

$ t = N $ ,即 $ {H_\ell } $ 处于一般位置时,所需分担的超平面个数为 $ 3N + 1 $

显然,上述结果中超平面个数过多,能否适当减少超平面个数而使结论仍然成立?当 $ N = 2 $ 时,Liu等[3]证明了定理4。

定理4  设 $ \mathcal{F} $ 是一族从区域 $ D \subset \mathbb{C} $ $ {\mathbb{P}}^{2}(\mathbb{C}) $ 的全纯曲线, $ {H_\ell } = \left\{ {{\boldsymbol{x}} \in {\mathbb{P}^2}(\mathbb{C}):} \right.\left. {\left\langle {{\boldsymbol{x}},{{\boldsymbol{\alpha}} _\ell }} \right\rangle = {\text{0}}} \right\} \ne {H_0} $ $ {\mathbb{P}^{\text{2}}}(\mathbb{C}) $ 中处于一般位置的超平面,其中, ${{\boldsymbol{\alpha}} _\ell }{{ = }}{\left( {{a_{\ell 0}},{a_{\ell 1}},{a_{\ell 2}}} \right)^{\text{T}}},{\text{ }}\ell = 1,{\text{2,}} \cdots ,5,{\text{ }}{H_0} = \left\{ {{x_0} = {\text{0}}} \right\}$ 。若对任意的 $ f \in \mathcal{F} $ ,有:

a. $ f(z) \in {H_\ell } $ 当且仅当 $ \nabla f(z) \in {H_\ell } $ ,其中, $\ell = 1, 2, \cdots ,5$

b. $ f(z) \in \displaystyle \bigcup\limits_{\ell = 1}^5 {{H_\ell }} $ ,那么, $\dfrac{\left|\langle f(z),{H}_{0}\rangle \right|}{\Vert f(z)\Vert \cdot \Vert {H}_{0}\Vert }\geqslant\delta$ ,其中, $ 0 < \delta < 1 $ 是一个常数。

$ \mathcal{F} $ $ D $ 上正规。

遗憾的是,文献[3]中的证明方法不能推广至 $ N \geqslant 3 $ 的情况。随后,郑晓杰等[4]得到了定理5。

定理5  设 $ \mathcal{F} $ 是一族从区域 $ D \subset \mathbb{C} $ $ {\mathbb{P}}^{3}(\mathbb{C}) $ 的全纯曲线, $ {H_\ell } = \left\{ {{\boldsymbol{x}} \in {\mathbb{P}^3}(\mathbb{C}):} \right.\left. {\left\langle {{\boldsymbol{x}},{{\boldsymbol{\alpha}} _\ell }} \right\rangle = {\text{0}}} \right\} \ne {H_0} $ $ {\mathbb{P}^3}(\mathbb{C}) $ 中处于一般位置的超平面,其中, ${{\boldsymbol{\alpha}} _\ell }{\text{ = }}{\left( {{a_{\ell 0}},{a_{\ell 1}},{a_{\ell 2}},{a_{\ell 3}}} \right)^{\text{T}}}, \ell = 1,{\text{2,}} \cdots ,8,{\text{ }}{H_0} = \left\{ {{x_0} = {\text{0}}} \right\}$ 。若对任意的 $ f \in \mathcal{F} $ ,有:

a. $ f(z) \in {H_\ell } $ 当且仅当 $ \nabla f(z) \in {H_\ell } $ ,其中, $ \ell = 1, 2, \cdots ,8 $

b. $f(z) \in\displaystyle \bigcup\limits_{\ell = 1}^8 {{H_\ell }}$ ,那么, $ \dfrac{\left|\langle f(z),{H}_{0}\rangle \right|}{\Vert f(z)\Vert \cdot \Vert {H}_{0}\Vert }\geqslant\delta $ ,其中 $ 0 < \delta < 1 $ 是一个常数。

$ \mathcal{F} $ $ D $ 上正规。

本文继续研究上述问题,得出:当 $ N = 3 $ ,超平面处于 $ t $ 次一般位置, $ t = 3,4,5 $ 时,结论仍然成立,即定理6。

定理6  设 $ \mathcal{F} $ 是一族从区域 $ D \subset \mathbb{C} $ $ {\mathbb{P}}^{3}( \mathbb{C}) $ 的全纯曲线, ${H_\ell } = \left\{ {{\boldsymbol{x}} \in {\mathbb{P}^3}(\mathbb{C}):} \right.\left. {\left\langle {{\boldsymbol{x}},{{\boldsymbol{\alpha}} _\ell }} \right\rangle = {\text{0}}} \right\} \ne {H_0}$ $ {\mathbb{P}^3}(\mathbb{C}) $ 中处于 $ t $ 次一般位置的超平面,其中, $ {{\boldsymbol{\alpha}} _\ell }{\text{ = }}{\left( {{a_{\ell 0}},{a_{\ell 1}},{a_{\ell 2}},{a_{\ell 3}}} \right)^{\text{T}}},{\text{ }} \ell = 1,{\text{2,}} \cdots ,2t + 3,{\text{ }}{H_0} = \left\{ {{x_0} = {\text{0}}} \right\} $ 。若对任意的 $ f \in \mathcal{F} $ ,有:

a. $ f(z) \in {H_\ell } $ 当且仅当 $ \nabla f(z) \in {H_\ell } $ ,其中, $ \ell = 1, 2, \cdots ,2t + 3 $

b. $f(z) \in \displaystyle \bigcup\limits_{\ell = 1}^{2t + 3} {{H_\ell }}$ ,则 $\dfrac{\left|\langle f(z),{H}_{0}\rangle \right|}{\Vert f(z)\Vert \cdot \Vert {H}_{0}\Vert }\geqslant\delta$ ,其中, $ 0 < \delta < 1 $ 是一个常数。

则当 $ t = 3,4,5 $ 时, $ \mathcal{F} $ $ D $ 上正规。

定理6是对定理4和定理5结果的进一步推广。

事实上,对于 $ N = 3 $ 而言,当 $ t = 3 $ ,即超平面处于一般位置时,只须要求 $ 2t + 2 = 8 $ 个超平面即可。

2 定义与符号

先介绍 $ {\mathbb{P}^N}(\mathbb{C}) $ 相关的定义与符号[5]

$ {\mathbb{P}^N}(\mathbb{C}) = {\mathbb{C}^{N + 1}}\backslash \{ 0\} /\sim $ $ N $ 维复射影空间。对任意 $ {\boldsymbol{x}} = ({x_0},{x_1}, \cdots ,{x_N}) $ , $ {\boldsymbol{y}} = ({y_0},{y_1}, \cdots ,{y_N}) $ $ {\boldsymbol{x}},{\boldsymbol{y}} \in {\mathbb{C}^{N + 1}}\backslash \{ 0\} $ , $ {\boldsymbol{x}}\sim{\boldsymbol{y}} $ 当且仅当存在某个 $ \lambda \in \mathbb{C} $ ,使得 $({x_0},{x_1}, \cdots ,{x_N}) = \lambda ({y_0},{y_1}, \cdots ,{y_N})$ $ ({x_0},{x_1}, \cdots ,{x_N}) $ 的等价类记作 $ [{\boldsymbol{x}}] = [{x_0}: {x_1}: \cdots :{x_N}] $ ,则

$ \begin{split} & {\mathbb{P}^N}(\mathbb{C}) =\\& \left\{ {\left[ {\boldsymbol{x}} \right] = [{x_0}:{x_1}: \cdots :{x_N}]:{\boldsymbol{x}} = ({x_0},{x_1}, \cdots ,{x_N}) \in {\mathbb{C}^{N + 1}}\backslash \{ 0\} } \right\} \end{split}$

$ {\mathbb{P}^N}(\mathbb{C}) $ 上可引入一个自然的度量,即对于点 $ [\omega ] $ $ [\omega '] $ 之间的距离,采用 $ {\mathbb{C}^{N + 1}} $ 中2个圆 $ \gamma $ $ \gamma ' $ 之间的欧几里得距离来表示,其中, $ \gamma $ $ \gamma ' $ 分别代表在球面 $ {S^{2N + 1}} $ 上的这2个点(这里取 $ \left| \omega \right| = \left| {\omega '} \right| = 1 $ )。简单计算可得

$ \begin{split}& {\rho ^2}\left( {\left[ \omega \right],\left[ {\omega '} \right]} \right) = \mathop {\min }\limits_{\theta ,\theta '} {\left| {\omega {{\rm{e}}^{i\theta }} - \omega '{{\rm{e}}^{i\theta '}}} \right|^2} =\\&\quad \mathop {\min }\limits_{\theta ,\theta '} 2\left\{ {1 - {{\rm{Re}}} \left[ {\left( {\omega ,\omega '} \right){{\rm{e}}^{i\left( {\theta - \theta '} \right)}}} \right]} \right\} = 2\left( {1 - \left| {\left( {\omega ,\omega '} \right)} \right|} \right) \end{split} $

对于一般的 $ \omega $ , $ \omega ' $

$ {\rho ^2}\left( {\left[ \omega \right],\left[ {\omega '} \right]} \right) = 2\left( {1 - \frac{{\left| {\left( {\omega ,\omega '} \right)} \right|}}{{\left| \omega \right|\left| {\omega '} \right|}}} \right) $

再假设 $ \omega ' = \omega + {\rm{d}}\omega $ ,并舍去关于 $ \left| {{\rm{d}}\omega } \right| $ 的二阶以上的小量,得到相应的度量形式:

$ {\rm{d}}{s^2} = \frac{{(\omega ,\omega )({\rm{d}}\omega ,{\rm{d}}\omega ) - (\omega ,{\rm{d}}\omega )({\rm{d}}\omega ,\omega )}}{{{{(\omega ,\omega )}^2}}} $

称这个度量为富比尼−施图迪(Fubini-Study)度量,它是 $ \mathbb{\bar C} = {\mathbb{P}^1}(\mathbb{C}) $ 上的球面度量在高维复射影空间中的推广。特别地,当 $ N = 1 $ 时,引进局部坐标 $ z = \dfrac{{{\omega _1}}}{{{\omega _0}}} $ ,此时,

$ {\text{d}}{s^2} = \frac{{{{\left| {{\text{d}}z} \right|}^2}}}{{{{\left( {1 + {{\left| z \right|}^2}} \right)}^2}}} $

其次,设 $ f:D \to {\mathbb{P}^N}(\mathbb{C}) $ 是全纯曲线, $ U $ $ D $ 的开子集。任意在 $ U $ 内满足 $ \mathbb{P}\left( {\tilde f\left( z \right)} \right) \equiv f(z) $ 的全纯曲线 $ \tilde f:U \to {\mathbb{C}^{N + 1}} $ 称作 $ f $ $ U $ 上的既约表示,其中, $\mathbb{P}: {\mathbb{C}}^{N+1}\backslash \left\{0\right\}\to {\mathbb{P}}^{N}(\mathbb{C})$ 是典型的商映射。

定义1  设 $ U \subset D $ 是开集,若 $ {f_0},{f_1}, \cdots ,{f_N} $ $ U $ 内全纯且没有公共零点,则称 $ \tilde f = ({f_0},{f_1}, \cdots ,{f_N}) $ $ f $ 的一个既约表示。

$ H = \{ {\boldsymbol{x}} \in {\mathbb{P}^N}(\mathbb{C}):\left\langle {{\boldsymbol{x}},{\boldsymbol{\alpha}} } \right\rangle = 0\} $ 是一个超平面,记 $\left\| H \right\| = \left\| {\boldsymbol{\alpha}} \right\| = \mathop {\max }\limits_{0 \leqslant i \leqslant N} \;\left| {{a_i}} \right|$ 。本文仅考虑满足 $ \left\| H \right\| = 1 $ 的标准化超平面。

对全纯曲线 $ f $ 的任何一个既约表示 $ \tilde f $ ,定义全纯函数

$ \left\langle {f(z),H} \right\rangle = \left\langle {\tilde f,{\boldsymbol{\alpha}} } \right\rangle = \sum\limits_{i = 0}^N {{a_i}{f_i}(z)} $

再取

$ \left\| f \right\| = \left\| {\tilde f} \right\| = {\left\{ {\sum\limits_{i = 0}^N {{{\left| {{f_i}(z)} \right|}^2}} } \right\}^{1/2}} $

定义2  设 $ f = \left[ {{f_0}:{f_1}: \cdots :{f_N}} \right]:D \to {\mathbb{P}^N}(\mathbb{C}) $ 是一个全纯曲线, $ z \in D $ ,再设 $ \tilde f $ $ f $ $ z $ 处的任何一个既约表示,记

$ {f^\# }\left( z \right) = \frac{{\left| {f \wedge f'} \right|}}{{{{\left\| f \right\|}^2}}} = \frac{{\sqrt {{{ \displaystyle \sum\limits_{0 \leqslant i < j \leqslant N} {\left| {{f_i}{f_j}^\prime - {f_j}{f_i}^\prime } \right|} }^2}} }}{{ \displaystyle \sum\limits_{i = 0}^N {{{\left| {{f_i}} \right|}^2}} }} $

$ f $ $ z $ 处的Fubini-Study导数,简记为F-S导数,其中, $ \tilde f' = \left( {{{\tilde f}_0}^\prime ,{{\tilde f}_1}^\prime , \cdots ,{{\tilde f}_N}^\prime } \right) $

$ N = 1 $ 时,则 $ f = \dfrac{{{f_1}}}{{{f_0}}} = \left[ {{f_0}:{f_1}} \right]:D \to {\mathbb{P}^1}(\mathbb{C}) $ 是亚纯函数,此时,

$ {f^\# }\left( z \right) = \dfrac{{\left| {{f_1}^\prime {f_0} - {f_0}^\prime {f_1}} \right|}}{{{{\left| {{f_0}} \right|}^2} + {{\left| {{f_1}} \right|}^2}}} = \frac{{\left| {{{\left( {\dfrac{{{f_1}}}{{{f_0}}}} \right)}^\prime }} \right|}}{{1 + {{\left| {\dfrac{{{f_1}}}{{{f_0}}}} \right|}^2}}} = \dfrac{{\left| {f'} \right|}}{{1 + {{\left| f \right|}^2}}} $

即通常意义下的球面导数。

定义3  设 $ f = \left[ {{f_0}:{f_1}: \cdots :{f_N}} \right]:D \to {\mathbb{P}^N}(\mathbb{C}) $ 是一条全纯曲线,若

$ {\rho _f} = \mathop {\overline {\lim } }\limits_{r \to + \infty }\; \frac{{\log \;{T_f}\left( r \right)}}{{\log \;r}} < + \infty $

其中, ${T}_{f}\left(r\right):={\displaystyle {\int }_{0}^{2\text{π} }\mathrm{log}\;\left\Vert \tilde{f}\left(r{{\rm{e}}}^{i\theta }\right)\right\Vert }\dfrac{{\rm{d}}\theta }{2\text{π} }-\mathrm{log}\;\Vert \tilde{f}\left(0\right)\Vert$ $ f $ 的特征函数,则称 $ f $ 是有穷级的。

$ {H_1},{H_2}, \cdots ,{H_q} $ $ {\mathbb{P}^N}(\mathbb{C}) $ 中的超平面,则

$ {H_\ell } = \{ {\boldsymbol{x}} \in {\mathbb{P}^N}(\mathbb{C}):\left\langle {{\boldsymbol{x}},{{\boldsymbol{\alpha}} _\ell }} \right\rangle = {a_{\ell 0}}{x_0} + {a_{\ell 1}}{x_1} + \cdots + {a_{\ell N}}{x_N} = 0\} $

其中, ${{\boldsymbol{\alpha}} _\ell } = {({a_{\ell 0}},{a_{\ell 1}}, \cdots ,{a_{\ell N}})^{\text{T}}}$ 为非零法向量, $ \ell = 1, 2, \cdots ,q $

按照文献[6]中关于t次一般位置的定义,有定义4。

定义4  设 $ N,t,q $ 均为正整数,且 $t\geqslant N,\text{ }q\geqslant 2t-N+ 1$ 。称超平面 $ {H_1},{H_2}, \cdots ,{H_q} \subseteq {\mathbb{P}^N}(\mathbb{C}) $ 处于 $ t $ 次一般位置,当且仅当对任意集合 $ P \subseteq \{ 1,2, \cdots ,q\} $ $\#P = t + 1$ ,存在单射 $ \mu :\left\{ {0,1, \cdots ,N} \right\} \to P $ ,使得 $ {H_{\mu (0)}}, \cdots ,{H_{\mu (N)}} $ 处于一般位置。#P表示集合P中元素的个数是t+1个。

而对于超曲面的情形,有定义5。

定义5[7]  设 $ M \subseteq {\mathbb{P}^N}(\mathbb{C}) $ 是一个非空闭子集, $ t $ 是一个正整数, $ {Q_1},{Q_2}, \cdots ,{Q_q} $ $ {\mathbb{P}^N}(\mathbb{C}) $ $ q\left( { \geqslant t + 1} \right) $ 个超曲面,称它们关于 $ M $ 处于 $ t $ 次一般位置,如果对任意 $ \{ {i_0},{i_1}, \cdots ,{i_t}\} \subseteq \{ 1,2, \cdots ,q\} $ ,有

$ M \displaystyle \bigcap \left( {\displaystyle \bigcap\limits_{j = {i_0}}^{{i_t}} {H_j}} \right) = \varnothing $

特别地,当 $ M = {\mathbb{P}^N}(\mathbb{C}) $ 时,即超平面关于 $ {\mathbb{P}^N}(\mathbb{C}) $ 处于 $ t $ 次一般位置,简称为处于 $ t $ 次一般位置。同时,当 $ t = N $ 时,称为处于一般位置。

按照文献[1]中关于导曲线的定义,有定义6。

定义6  设 $ f $ 是从 $ D $ 映射到 $ {\mathbb{P}^N}(\mathbb{C}) $ 的全纯曲线, $ \tilde f = ({f_0},{f_1}, \cdots ,{f_N}) $ $ f $ $ D $ 上的任意一个满足 ${f_\mu }(z)\not \equiv 0$ 的既约表示, $ \mu \in \{ 1,2, \cdots ,N\} $ ,则

$ \begin{split} {\nabla _\mu }f(z) =& \left[ W\left( {{f_\mu },{f_0}} \right)/d: \cdots :W\left( {{f_\mu },{f_{\mu - 1}}} \right)/d:f_\mu ^2/d:\right.\\&\left.W\left( {{f_\mu },{f_{\mu + 1}}} \right)/d: \cdots :W\left( {{f_\mu },{f_N}} \right)/d \right] \end{split} $

称作 $ f $ 关于第 $ \mu $ 个分量的全纯导曲线,其中, $ d(z) $ 是全纯函数,使得 $ {{f_\mu ^2} \mathord{\left/ {\vphantom {{f_\mu ^2} d}} \right. } d} $ $ W\left( {{f_\mu },{f_i}} \right)/d $ 没有公共零点, $ i = 0,1, \cdots ,N;{\text{ }}i \ne \mu $

简单起见,将 $ {\nabla _0}f $ 记作 $ \nabla f $ ,显然地,有 $ \nabla {f_\mu } $ 的定义与 $ f $ 的既约表示的选取无关。当 $ N = 1 $ 时, $ {\nabla _0}f $ 对应的是亚纯函数 $ \dfrac{{{f_1}}}{{{f_0}}} $ 的导数,即 $ f $ 的导函数 $ f' $ ,而 $ {\nabla _1}f $ 对应的是亚纯函数 $ \dfrac{{{f_0}}}{{{f_1}}} $ 的导数,即 $ \dfrac{1}{f} $ 的导函数 $ {\left( {\dfrac{1}{f}} \right)^\prime } $

在证明主要定理之前,先介绍一些常用符号。在本文中, $ D $ 是复平面 $ \mathbb{C} $ 上的一个区域, ${H_0} = \left\{ {{x_0} = {\text{0}}} \right\}$ 代表第一坐标超平面。记 ${g_n}\left( \zeta \right)\mathop \Rightarrow \limits_{F - S}^{\zeta \in \mathbb{C}} g\left( \zeta \right)$ 表示序列 $ \left\{ {{g_n}} \right\} $ 按照 $ {\mathbb{P}^N}(\mathbb{C}) $ 上的Fubini-Study度量在 $ \mathbb{C} $ 上内闭一致收敛于 $ g $

3 主要引理

1991年,Aladro等[8]将Zalcman引理进行推广,得出结论:由双曲区域映射到一般的Hermite流形上的全纯映射族仍满足Zalcman引理。这为正规族理论的发展开创了新的方向。

引理1  设 $ \mathcal{F} $ 是一族从 $ {\mathbb{C}^m} $ 中的双曲区域 $ \varOmega $ 映到 $ {\mathbb{P}^N}(\mathbb{C}) $ 的全纯映射。 $ \mathcal{F} $ $\varOmega$ 上不正规当且仅当存在子列 $ \left\{ {{f_n}} \right\} \subset \mathcal{F} $ ,点列 $ \left\{ {{z_n}} \right\} \subset \varOmega $ 满足 $ {z_n} \to {z_0} \in \varOmega $ ,正数列 $ \left\{ {{\rho _n}} \right\} $ 满足 $ {\;\rho _n} \to {0^ + } $ ,使得

$ {g_n}(\xi ): = {f_n}\left( {{z_n} + {\rho _n}\xi } \right) $

$ {\mathbb{C}^m} $ 上内闭一致收敛于从 $ {\mathbb{C}^m} $ 映射到 $ {\mathbb{P}^N}(\mathbb{C}) $ 的非常值全纯映射 $ g(\xi ) $

在主要定理的证明过程中,还需要如下的引理2。

引理2(Hurwitz引理)[2]  设 $ \left\{ {{f_n}(z)} \right\} $ 是定义在区域 $ D \subset \mathbb{C} $ 内的一列全纯函数, $ a \in \mathbb{C} $ 是任意一个复数,且设 $ {f_n}(z) $ $ D $ 的任意一个紧子集上一致收敛于非常值的全纯函数 $ f(z) $ 。若存在点 $ {z_0} \in D $ ,使得 $ f({z_0}) = a $ ,则对于每一个充分大的 $ n $ ,方程 ${f_n}(z) = a$ $ D $ 内有根。此外,存在 $ {z_0} $ 的某邻域 $ U $ ,使得 $ f(z) - a $ $ U $ 内根的总数与 $ {f_n}(z) - a $ $ U $ 内根的总数相同(计重数)。

1999年,Eremenko证明了一个Picard型定理,即引理3。

引理3[9]  设 $ f:\mathbb{C} \to X $ 是一条全纯曲线,其中 $ X $ $ {\mathbb{P}^N}(\mathbb{C}) $ 中的一个闭子集。再设 $ {Q_1},{Q_2}, \cdots ,{Q_{2t + 1}} $ $ {\mathbb{P}^N}(\mathbb{C}) $ 中的超曲面,关于 $ X $ 处于 $ t $ 次一般位置。若 $ f $ 不取 $ {Q_i} $ ,即 $ \left\langle {f,{Q_i}} \right\rangle \ne 0,{\text{ }}1 \leqslant i \leqslant 2t + 1 $ ,则 $ f $ 必为常映射。

为了便于辅助主要定理的证明,将引理3推导为引理4。

引理4[7]  设 $ f:\mathbb{C} \to {\mathbb{P}^N}(\mathbb{C}) $ 是一条全纯曲线, $ {H_1},{H_2}, \cdots ,{H_q} $ 均是 $ {\mathbb{P}^N}(\mathbb{C}) $ 中处于 $ t $ 次一般位置的超平面,其中, $ q \geqslant 2t + 1,{\text{ }}t \geqslant N $ ,若对每个 $ i \in \left\{ {1,2, \cdots ,q} \right\} $ $ f $ 不取 $ {H_i} $ ,或者 $ f(\mathbb{C}) \subseteq {H_i} $ ,则 $ f $ 必为常映射。

引理5[3]  设 $ g = [{g_0}:{g_1}: \cdots :{g_N}]:\mathbb{C} \to {\mathbb{P}^N}(\mathbb{C}) $ 是一条有穷级的全纯曲线,且 $ {g_0}(\zeta )\not \equiv 0 $ $ N \geqslant 2 $ 是一个整数。 ${H_\ell } = \{ {\boldsymbol{x}} \in {\mathbb{P}^N}(\mathbb{C}):\left\langle {{\boldsymbol{x}},{{\boldsymbol{\alpha}} _\ell }} \right\rangle = 0\}$ $ {\mathbb{P}^N}(\mathbb{C}) $ 中处于一般位置的超平面,且其第一系数 $ {a_{\ell 0}} $ 均不为零, $ \ell = 1,2, \cdots ,N + 1 $ . $ \tilde g\left( \zeta \right) = \left( {{g_0},{g_1}, \cdots ,{g_N}} \right)\left( \zeta \right) $ $ g $ 的任意既约表示,令

$ {G_\ell }\left( \zeta \right) = {a_{\ell 0}} + \sum\limits_{i = 1}^N {{a_{\ell i}}\frac{{{g_i}\left( \zeta \right)}}{{{g_0}\left( \zeta \right)}}} ,\;\;\;\;\ell = 1,2, \cdots ,N + 1 $

$ {G_\ell }\left( \zeta \right) \ne 0 $ $ {G_\ell }^\prime \left( \zeta \right) \ne 0,{\text{ }}\zeta \in \mathbb{C} $ ,则 $ g $ 是线性退化的。

引理6[10]  设 $ f(z) $ 为整函数,若 $ f(z) $ 的球面导数 $ {f^\# }\left( z \right) $ 有界,则 $ f(z) $ 的级最多为1。

4 主要定理的证明 4.1 定理3的证明

假设 $ \mathcal{F} $ $ D $ 上不正规,则由引理1可得,存在点列 $ \left\{ {{z_n}} \right\} \subset D $ 满足 $ {z_n} \to {z_0} \in D $ ,全纯曲线列 $ \left\{ {{f_n}} \right\} \subset \mathcal{F} $ ,正数列 $ \left\{ {{\rho _n}} \right\} $ 满足 $ {\rho _n} \to {0^ + } $ ,使得

$ {g_n}(\zeta ): = {f_n}\left( {{z_n} + {\rho _n}\zeta } \right)\mathop \Rightarrow \limits_{F - S}^{\zeta \in \mathbb{C}} g\left( \zeta \right) $

其中, $ g $ $ \mathbb{C} $ 上的非常值全纯曲线。

因为, $ {H_\ell },{\text{ }}\ell = 1,2, \cdots ,3t + 1 $ $ {\mathbb{P}^N}(\mathbb{C}) $ 中处于 $ t $ 次一般位置,由t次一般位置的定义可得,这 $ 3t + 1 $ 个超平面中至少存在 $ 2t + 1 $ 个超平面的第一系数不为零。不失一般性,假设 $ {H_1},{H_2}, \cdots ,{H_{2t + 1}} $ 的第一系数均不为零。类似于定理2的证明,可得 $ g\left( \mathbb{C} \right) \subseteq {H_i} $ $ \left\langle {g,{H_i}} \right\rangle \ne 0 $ $ i = 1,2, \cdots ,2t + 1 $ ,再由引理4可知 $ g $ 为常值,矛盾。因此, $ \mathcal{F} $ $ D $ 上正规。

4.2 定理6的证明

假设 $ \mathcal{F} $ $ D $ 上不正规,则由引理1可得,存在点列 $ \left\{ {{z_n}} \right\} \subset D $ 满足 $ {z_n} \to {z_0} \in D $ ,全纯曲线列 $ \left\{ {{f_n}} \right\} \subset \mathcal{F} $ ,正数列 $ \left\{ {{\rho _n}} \right\} $ 满足 $ {\rho _n} \to {0^ + } $ ,使得

$ {g_n}(\zeta ): = {f_n}\left( {{z_n} + {\rho _n}\zeta } \right)\mathop \Rightarrow \limits_{F - S}^{\zeta \in \mathbb{C}} g\left( \zeta \right) $ (1)

其中, $ g $ $ \mathbb{C} $ 上有穷级的非常值全纯曲线。

$ \tilde g\left( \zeta \right) = \left( {{g_0},{g_1},{g_2},{g_3}} \right)\left( \zeta \right) $ $ g $ 的某个既约表示。由于 $ {H_\ell } $ 处于 $ t $ 次一般位置, $ 1 \leqslant \ell \leqslant 2t + 3 $ ,则至少存在 $ t + 3 $ 个超平面的第一系数不为零。不失一般性,假定 $ {H_1},{H_2}, \cdots ,{H_{t + 3}} $ 的第一系数均不为零。又由引理4及 $ g $ 非常值,存在某个 $ i \in \left\{ {1,2, \cdots ,2t + 3} \right\} $ ,不失一般性,假定 $ i = 2t + 3 $ ,则存在某个 $ {\zeta _0} \in \mathbb{C} $ ,使得 $ \left\langle {g,{H_{2t + 3}}} \right\rangle \left( {{\zeta _0}} \right) = 0 $ ,但 $ \left\langle {g,{H_{2t + 3}}} \right\rangle \left( \zeta \right)\not \equiv 0 $

类似于定理4中的证明,有如下结论:

断言a.   $ {g_0}\left( {{\zeta _0}} \right) \ne 0 $ ,从而 $ {g_0}\left( \zeta \right)\not \equiv 0 $

断言b.   $ {H_{2t + 3}} $ 的第一系数必为零,即 $ {\alpha _{2t + 3}} = \left( {0,{a_{2t + 3,1}},{a_{2t + 3,2}},{a_{2t + 3,3}}} \right) $

现分为两种情况进行讨论。

情况1   $ \tilde g $ 线性非退化。

由断言b,有 $ \tilde g $ 不取 $ {H_\ell } $ ,即

$ {G_\ell } = {a_{\ell 0}} + {a_{\ell 1}}\frac{{{g_1}}}{{{g_0}}} + {a_{\ell 2}}\frac{{{g_2}}}{{{g_0}}} + {a_{\ell 3}}\frac{{{g_3}}}{{{g_0}}} \ne 0,{\text{ }}\ell = 1,2, \cdots ,t + 3 $

又由定理4的a,有 $ {G_\ell }^\prime \left( \zeta \right) \ne 0 $ , $\ell = 1,2, \cdots , t + 3$ $ \zeta \in \mathbb{C} $ 。由于 $ {H_\ell } $ 处于 $ t $ 次一般位置, $\ell = 1,2, \cdots , t + 3$ ,所以,任取 $ t + 1 $ 个超平面,存在 $ N + 1 $ 个超平面处于一般位置。故由引理5(取 $ N = 3 $ ),有 $ \tilde g $ 线性退化,矛盾。

情况2   $ \tilde g $ 线性退化。

此时,存在不全为零的数 $ {k_0},{\text{ }}{k_1},{\text{ }}{k_2} $ $ {k_3} $ ,使得

$ {k_0}{g_0}(\zeta ) + {k_1}{g_1}(\zeta ) + {k_2}{g_2}(\zeta ) + {k_3}{g_3}(\zeta ) \equiv 0 $

情况2.1   $ {g_0},{g_1},{g_2} $ 线性无关。

此时 $ {k_3} \ne 0 $ ,所以,存在常数 $ k,{\text{ }}l,{\text{ }}m $ ,使得

$ {g_3}(\zeta ) = k{g_2}(\zeta ) + l{g_1}(\zeta ) + m{g_0}(\zeta ) $

由引理4的证明可知 $ {g_0} \ne 0 $ ,因此,

$ \frac{{{g_3}(\zeta )}}{{{g_0}(\zeta )}} = k\frac{{{g_2}(\zeta )}}{{{g_0}(\zeta )}} + l\frac{{{g_1}(\zeta )}}{{{g_0}(\zeta )}} + m $

$ {G_\ell } $ 是全纯的, $ \ell = 1,2, \cdots ,t + 3 $ 。由Zalcman引理的证明,可得 $ {g^\# }\left( \zeta \right) \leqslant 1 $ ,则存在常数 $ M > 0 $ ,使得

$ G_\ell ^\# \left( \zeta \right) \leqslant M $

由引理6可知, $ {\rho _{{G_\ell }}} \leqslant 1,{\text{ }}1 \leqslant \ell \leqslant t + 3 $ 。由断言b可得, $ {G_\ell } \equiv 0 $ $ {G_\ell } \ne 0,{\text{ }}\ell = 1,2, \cdots ,t + 3 $ 。因此,当 $ {G_\ell } \ne 0 $ , $ \ell \in \left\{ {1,2, \cdots ,t + 3} \right\} $ 时, ${G_\ell } = {B_\ell }{{\rm{e}}^{{A_\ell }\zeta }}$ ;当 $ {G_\ell } \equiv 0 $ 时,仍旧记 ${G_\ell } = {B_\ell }{{\rm{e}}^{{A_\ell }\zeta }}$ ,其中, $ {B_\ell } = 0 $

任取 $ {j_1},{j_2}, \cdots ,{j_{t + 1}} \in \{ 1,2, \ldots ,t + 3\} $ ,不失一般性,令 $ {j_i} = i $ $ 1 \leqslant i \leqslant t + 1 $ ,则存在某个单射 $\sigma :\{ 1,2, \cdots ,4\} \to \{ 1,2, \cdots ,t + 1\}$ ,使得 $ {H_{\sigma \left( 1 \right)}}, \cdots ,{H_{\sigma \left( 4 \right)}} $ 处于一般位置。从而 $\det {\boldsymbol{A}} \ne 0$ ,其中,

$ {\boldsymbol{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{\sigma (1),0}}}&{{a_{\sigma (2),0}}}&{{a_{\sigma (3),0}}}&{{a_{\sigma (4),0}}} \\ {{a_{\sigma (1),1}}}&{{a_{\sigma (2),1}}}&{{a_{\sigma (3),1}}}&{{a_{\sigma (4),1}}} \\ {{a_{\sigma (1),2}}}&{{a_{\sigma (2),2}}}&{{a_{\sigma (3),2}}}&{{a_{\sigma (4),2}}} \\ {{a_{\sigma (1),3}}}&{{a_{\sigma (2),3}}}&{{a_{\sigma (3),3}}}&{{a_{\sigma (4),3}}} \end{array}} \right) $

${p_1}{B_{\sigma (1)}}{{\rm{e}}^{{A_{\sigma (1)}}\zeta }} + {p_2}{B_{\sigma (2)}}{{\rm{e}}^{{A_{\sigma (2)}}\zeta }} + {p_3}{B_{\sigma (3)}}{{\rm{e}}^{{A_{\sigma (3)}}\zeta }} + {p_4}{B_{\sigma (4)}}{{\rm{e}}^{{A_{\sigma (4)}}\zeta }} = 0$ ,其中, $ {p_1},{p_2},{p_3},{p_4} $ 均为常数,因此,

$ \left( {1,\frac{{{g_1}}}{{{g_0}}},\frac{{{g_2}}}{{{g_0}}},\frac{{{g_3}}}{{{g_0}}}} \right){\boldsymbol{A}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{p_1}} \\ {{p_2}} \\ {{p_3}} \\ {{p_4}} \end{array}} \right) = 0 $

由于 $1,\dfrac{{{g_1}}}{{{g_0}}},\dfrac{{{g_2}}}{{{g_0}}},\dfrac{{{g_3}}}{{{g_0}}}$ 线性相关,所以,存在非零向量 $ {\left( {{b_1},{b_2},{b_3},{b_4}} \right)^{\text{T}}} $ ,使得 $ {\boldsymbol{A}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{p_1}} \\ {{p_2}} \\ {{p_3}} \\ {{p_4}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}} \\ {{b_2}} \\ {{b_3}} \\ {{b_4}} \end{array}} \right) $ ,因此, ${p_1},{p_2}, {p_3},{p_4}$ 不全为零,即 ${B_{\sigma (1)}}{{\rm{e}}^{{A_{\sigma (1)}}\zeta }},{B_{\sigma (2)}}{{\rm{e}}^{{A_{\sigma (2)}}\zeta }}, {B_{\sigma (3)}}{{\rm{e}}^{{A_{\sigma (3)}}\zeta }}, {B_{\sigma (4)}}{{\rm{e}}^{{A_{\sigma (4)}}\zeta }}$ 线性相关。

断言c.  存在某个单射 $\phi :\{ 1,2,3\} \to \{ \sigma (1),\sigma (2), \sigma (3),\sigma (4)\}$ ,使得 ${B_{\phi (1)}}{{\rm{e}}^{{A_{\phi (1)}}\zeta }},{B_{\phi (2)}}{{\rm{e}}^{{A_{\phi (2)}}\zeta }},{B_{\phi (3)}}{{\rm{e}}^{{A_{\phi (3)}}\zeta }}$ 线性无关。

断言c的证明:不失一般性,假设存在常数 $ {\ell _1},{\ell _2},{\ell _3} $ ,有 ${B_{\sigma (4)}}{{\rm{e}}^{{A_{\sigma (4)}}\zeta }} = {\ell _1}{B_{\sigma (1)}}{{\rm{e}}^{{A_{\sigma (1)}}\zeta }} + {\ell _2}{B_{\sigma (2)}}{{\rm{e}}^{{A_{\sigma (2)}}\zeta }} + {\ell _3}{B_{\sigma (3)}}{{\rm{e}}^{{A_{\sigma (3)}}\zeta }}$ 。由于 $( {B_{\sigma (1)}}{{\rm{e}}^{{A_{\sigma (1)}}\zeta }},{B_{\sigma (2)}}{{\rm{e}}^{{A_{\sigma (2)}}\zeta }}, {B_{\sigma (3)}}{{\rm{e}}^{{A_{\sigma (3)}}\zeta }}, {B_{\sigma (4)}}{{\rm{e}}^{{A_{\sigma (4)}}\zeta }} ) = \left( {1,\dfrac{{{g_1}}}{{{g_0}}},\dfrac{{{g_2}}}{{{g_0}}},\dfrac{{{g_3}}}{{{g_0}}}} \right){\boldsymbol{A}}$ ,所以,

$\begin{split}& \left( {1,\frac{{{g_1}}}{{{g_0}}},\frac{{{g_2}}}{{{g_0}}},\frac{{{g_3}}}{{{g_0}}}} \right) = \\&\quad\left( {{B_{\sigma (1)}}{{\rm{e}}^{{A_{\sigma (1)}}\zeta }},{B_{\sigma (2)}}{{\rm{e}}^{{A_{\sigma (2)}}\zeta }},{B_{\sigma (3)}}{{\rm{e}}^{{A_{\sigma (3)}}\zeta }},{B_{\sigma (4)}}{{\rm{e}}^{{A_{\sigma (4)}}\zeta }}} \right){{\boldsymbol{A}}^{ - 1}} \end{split} $

从而 $\dfrac{{{g_j}}}{{{g_0}}} = \displaystyle \sum\limits_{i = 1}^3 {{c_{ij}}} {B_{\sigma (i)}}{{\rm{e}}^{{A_{\sigma (i)}}\zeta }},{\text{ }}j = 0,1,2$

${\boldsymbol C} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_{10}}}&{{c_{11}}}&{{c_{12}}} \\ {{c_{20}}}&{{c_{21}}}&{{c_{22}}} \\ {{c_{30}}}&{{c_{31}}}&{{c_{32}}} \end{array}} \right) $ ,则有 $\left( {1,\dfrac{{{g_1}}}{{{g_0}}},\dfrac{{{g_2}}}{{{g_0}}}} \right) = \left( {{B_{\sigma (1)}}{{\rm{e}}^{{A_{\sigma (1)}}\zeta }},{B_{\sigma (2)}}{{\rm{e}}^{{A_{\sigma (2)}}\zeta }},{B_{\sigma (3)}}{{\rm{e}}^{{A_{\sigma (3)}}\zeta }}} \right){\boldsymbol{C}}$ 。若 $ r\left({\boldsymbol C} \right)\geqslant2 $ ,则方程 $ {\boldsymbol C} \left( {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_0}} \\ {{x_1}} \\ {{x_2}} \end{array}} \right) = 0 $ 有非零解,因此,存在不全为零的常数 $ {q_0},{\text{ }}{q_1},{\text{ }}{q_2} $ ,使得 $ {\boldsymbol C} \left( {\begin{array}{*{20}{l}} {{q_0}} \\ {{q_1}} \\ {{q_2}} \end{array}} \right) = 0 $ ,则

$ \left( {{B_{\sigma (1)}}{{\rm{e}}^{{A_{\sigma (1)}}\zeta }},{B_{\sigma (2)}}{{\rm{e}}^{{A_{\sigma (2)}}\zeta }},{B_{\sigma (3)}}{{\rm{e}}^{{A_{\sigma (3)}}\zeta }}} \right){\boldsymbol{C}}\left( {\begin{array}{*{20}{l}} {{q_0}} \\ {{q_1}} \\ {{q_2}} \end{array}} \right) = 0 $

$\left( {1,\dfrac{{{g_1}}}{{{g_0}}},\dfrac{{{g_2}}}{{{g_0}}}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{l}} {{q_0}} \\ {{q_1}} \\ {{q_2}} \end{array}} \right) = 0$ ,因此, $1,{\text{ }}\dfrac{{{g_1}}}{{{g_0}}},{\text{ }}\dfrac{{{g_2}}}{{{g_0}}}$ 线性相关,矛盾,从而 $r\left( {\boldsymbol{C}} \right) = 3$

${B_{\sigma (1)}}{{\rm{e}}^{{A_{\sigma (1)}}\zeta }},{\text{ }}{B_{\sigma (2)}}{{\rm{e}}^{{A_{\sigma (2)}}\zeta }},{\text{ }}{B_{\sigma (3)}}{{\rm{e}}^{{A_{\sigma (3)}}\zeta }}$ 线性相关,则存在不全为零的常数 $ {c_0},{\text{ }}{c_1},{\text{ }}{c_2} $ ,使得

$ \left( {{B_{\sigma (1)}}{{\rm{e}}^{{A_{\sigma (1)}}\zeta }},{B_{\sigma (2)}}{{\rm{e}}^{{A_{\sigma (2)}}\zeta }},{B_{\sigma (3)}}{{\rm{e}}^{{A_{\sigma (3)}}\zeta }}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_0}} \\ {{c_1}} \\ {{c_2}} \end{array}} \right) = 0 $

因此, $ \left( {1,\dfrac{{{g_1}}}{{{g_0}}},\dfrac{{{g_2}}}{{{g_0}}}} \right){C^{ - 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_0}} \\ {{c_1}} \\ {{c_2}} \end{array}} \right) = 0 $ ,这意味着 $ 1,\dfrac{{{g_1}}}{{{g_0}}}, \dfrac{{{g_2}}}{{{g_0}}} $ 线性相关,矛盾。断言c得证。

所以, ${B_{\sigma (1)}}{{\rm{e}}^{{A_{\sigma (1)}}\zeta }},{B_{\sigma (2)}}{{\rm{e}}^{{A_{\sigma (2)}}\zeta }},{B_{\sigma (3)}}{{\rm{e}}^{{A_{\sigma (3)}}\zeta }}$ 线性无关,这意味着 $ {B_{\sigma (1)}},{B_{\sigma (2)}},{B_{\sigma (3)}} $ 均不为零,且 ${A_{\sigma (1)}}, {A_{\sigma (2)}},{A_{\sigma (3)}}$ 互不相等。又因为

$ \left( {{B_1}{{\rm{e}}^{{A_1}\zeta }},{B_2}{{\rm{e}}^{{A_2}\zeta }}, \cdots ,{B_{t + 3}}{{\rm{e}}^{{A_{t + 3}}\zeta }}} \right) = \left( {1,\frac{{{g_1}}}{{{g_0}}},\frac{{{g_2}}}{{{g_0}}},\frac{{{g_3}}}{{{g_0}}}} \right){\boldsymbol{B}} $

其中,

$ {\boldsymbol{B}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{10}}}&{{a_{20}}}& \ldots &{{a_{t + 3,0}}} \\ {{a_{11}}}&{{a_{21}}}& \ldots &{{a_{t + 3,1}}} \\ {{a_{12}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{t + 3,2}}} \\ {{a_{13}}}&{{a_{23}}}& \ldots &{{a_{t + 3,3}}} \end{array}} \right) $

$ rank\left\{ {\left( {1,\dfrac{{{g_1}}}{{{g_0}}},\dfrac{{{g_2}}}{{{g_0}}},\dfrac{{{g_3}}}{{{g_0}}}} \right)} \right\} = 3 $ ,因此, $rank\{ ( {B_1}{{\rm{e}}^{{A_1}\zeta }}, {B_2}{{\rm{e}}^{{A_2}\zeta }}, \cdots ,{B_{t + 3}}{{\rm{e}}^{{A_{t + 3}}\zeta }} )t\} \leqslant 3$

综上所述,任取 $P \subseteq \left\{ {{B_1}{{\rm{e}}^{{A_1}\zeta }},{B_2}{{\rm{e}}^{{A_2}\zeta }}, \cdots ,{B_{t + 3}}{{\rm{e}}^{{A_{t + 3}}\zeta }}} \right\}, {\text{ }}\# P = t + 1$ ,存在 $ P $ 中的3个元素线性无关。因此, $ {A_1},{A_2}, \cdots ,{A_{t + 3}} $ 中任取 $ t + 1 $ 个,有且仅有3个不同(当某个 $ {B_\ell } = 0 $ ,此时对应的 $ {B_\ell }{{\rm{e}}^{{A_\ell }\zeta }} $ 必与其他的 $ {B_j}{{\rm{e}}^{{A_j}\zeta }} $ 线性相关,故不考虑其 $ {A_\ell } $ )。容易验证,当 $ t = 3,4,5 $ 时, $ {B_1}{{\rm{e}}^{{A_1}\zeta }},{B_2}{{\rm{e}}^{{A_2}\zeta }}, \cdots ,{B_{t + 3}}{{\rm{e}}^{{A_{t + 3}}\zeta }} $ 不可能满足要求,矛盾。

情况2.2   $ {g_0},{g_1},{g_2} $ 线性相关。

此时存在不全为零的数 $ {p_0},{p_1},{p_2} $ ,使得 $ {p_0}{g_0} + {p_1}{g_1} + {p_2}{g_2} = 0 $

a. $ {p_2} \ne 0 $ ,则 $ {g_2},{g_3} $ 可由 $ {g_0},{g_1} $ 线性表出,即存在常数 $ {k_1},{k_2},{l_1},{l_2} $ ,有

$ \frac{{{g_2}(\zeta )}}{{{g_0}(\zeta )}} = {k_1}\frac{{{g_1}(\zeta )}}{{{g_0}(\zeta )}} + {l_1} , \frac{{{g_3}(\zeta )}}{{{g_0}(\zeta )}} = {k_2}\frac{{{g_1}(\zeta )}}{{{g_0}(\zeta )}} + {l_2} $ (2)

因此,

$ \begin{split}& {G_\ell } = {a_{\ell 0}} + {a_{\ell 1}}\frac{{{g_1}\left( \zeta \right)}}{{{g_0}\left( \zeta \right)}} + {a_{\ell 2}}\frac{{{g_2}\left( \zeta \right)}}{{{g_0}\left( \zeta \right)}} + {a_{\ell 3}}\frac{{{g_3}\left( \zeta \right)}}{{{g_0}\left( \zeta \right)}} = \\&\quad \left( {{a_{\ell 1}} + {a_{\ell 2}}{k_1} + {a_{\ell 3}}{k_2}} \right)\frac{{{g_1}\left( \zeta \right)}}{{{g_0}\left( \zeta \right)}} + {a_{\ell 0}} + {a_{\ell 2}}{l_1} + {a_{\ell 3}}{l_2},\\&\quad\ell = 1,2, \cdots ,2t + 3 \end{split}$

由于 $ {H_1},{H_2}, \cdots ,{H_{t + 3}} $ 处于 $ t $ 次一般位置,所以,由t次一般位置的定义,不失一般性,设 ${\alpha _{{\ell _0}}},{\alpha _{{\ell _1}}}, {\alpha _{{\ell _2}}},{\alpha _{{\ell _3}}}$ 线性无关, $ \left\{ {{\ell _0},{\ell _1},{\ell _2},{\ell _3}} \right\} \subseteq \left\{ {1,2, \cdots ,t + 3} \right\} $ ,则必存在某个 $ {\ell _t} \in \left\{ {{\ell _0},{\ell _1},{\ell _2},{\ell _3}} \right\} $ ,使得 ${a}_{{\ell }_{t},1}+{a}_{{\ell }_{t},2}{k}_{1}+ {a}_{{\ell }_{t},3}{k}_{2}\ne 0$

对于上述 $ {\ell _t} $ ,若 $ {G_{{\ell _t}}}^\prime \equiv 0 $ ,则有 $ {\left( {\dfrac{{{g_1}}}{{{g_0}}}} \right)^\prime } \equiv 0 $ ,这意味着 $ \dfrac{{{g_1}}}{{{g_0}}} \equiv {c_1} $ ,矛盾。又由定理4的a,有

$ {G_{{\ell _t}}}^\prime \ne 0 , \;\; {\left( {\frac{{{g_1}}}{{{g_0}}}} \right)^\prime } \ne 0 $ (3)

$ {H_j} $ 的第一系数均不为零,即 $ {a_{j0}} \ne 0 $ ,则由断言b可得, $ g $ 不取 $ {H_j} $ $ g\left( \mathbb{C} \right) \subseteq {H_j} $ $j = t + 4,t + 5, \cdots , 2t + 2$ 。由引理4可知, $ \tilde g $ 是一个常值映射,矛盾。因此,至少存在2个 ${j_i},{j_k} \in \left\{ {t + 4,t + 5, \cdots ,2t + 2} \right\}, {\text{ }}{j_i} \ne {j_k}$ ,使得 $ {a_{{j_i},0}} = {a_{{j_k},0}} = 0 $ ,不妨设 ${j_i} = 2t + 1, {\text{ }}{j_k} = 2t + 2$

又假设 $ {H_m} $ 的第一系数均不为零,即 $ {a_{m0}} \ne 0 $ ,则 $ g $ 不取 $ {H_m} $ $ g\left( \mathbb{C} \right) \subseteq {H_m} $ $ m = t + 4,t + 5, \cdots ,2t $

若对任意的 $ \zeta \in \mathbb{C} $ ,有 $ \left\langle {\tilde g,{\alpha _k}} \right\rangle \ne 0 $ $ \left\langle {\tilde g,{\alpha _k}} \right\rangle \equiv 0 $ $ k = 2t + 1,2t + 2,2t + 3 $ ,则由引理4可知, $ \tilde g $ 是一个常值映射,矛盾。因此,存在某个 ${k_i} \in \left\{ 2t + 1,2t + 2, 2t + 3 \right\}$ ,存在 $ {\zeta _0} \in \mathbb{C} $ ,使得 $ \left\langle {\tilde g,{\alpha _{{k_i}}}} \right\rangle \left( {{\zeta _0}} \right) = 0 $ ,但 $ \left\langle {\tilde g,{\alpha _{{k_i}}}} \right\rangle \left( \zeta \right)\not \equiv 0 $

断言d.   $ \left\langle {\tilde g,{\alpha _{{k_i}}}} \right\rangle $ 的零点 $ {\zeta _0} $ 均是重级的,且 $ {\zeta _0} $ 也是 $ {G_{{k_i}}}\left( \zeta \right) $ 的重级零点。

因为, $ {\alpha _{{k_i}}} = \left( {0,{a_{{k_i},1}},{a_{{k_i},2}},{a_{{k_i},3}}} \right) $ ,所以,

$ \left\langle {\tilde g,{\alpha _{{k_i}}}} \right\rangle \left( {{\zeta _0}} \right) = {a_{{k_i},1}}{g_1}\left( {{\zeta _0}} \right) + {a_{{k_i},2}}{g_2}\left( {{\zeta _0}} \right) + {a_{{k_i},3}}{g_3}\left( {{\zeta _0}} \right) = 0 $

由式(2)可得

$ \begin{split}& \left( {{a_{{k_i},1}} + {a_{{k_i},2}}{k_1} + {a_{{k_i},3}}{k_2}} \right){g_1}({\zeta _0}) + \left( {{a_{{k_i},2}}{l_1} + {a_{{k_i},3}}{l_2}} \right){g_0}\left( {{\zeta _0}} \right) = 0 , \\& \quad {G_{{k_i}}}\left( {{\zeta _0}} \right) = 0 \end{split}$

$ {\zeta _0} $ 也是 $ {G_{{k_i}}}\left( \zeta \right) $ 的零点。

由引理2可知,存在序列 $ \left\{ {{\zeta _n}} \right\},{\text{ }}{\zeta _n} \to {\zeta _0} $ ,使得 $ \left\langle {{{\tilde g}_n},{\alpha _{{k_i}}}} \right\rangle \left( {{\zeta _n}} \right) = 0 $ ,则有 $ \left\langle {{{\tilde f}_n},{\alpha _{{k_i}}}} \right\rangle \left( {{z_n} + {\rho _n}{\zeta _n}} \right) = 0 $ 。由定理6的a,有 $ \left\langle {\nabla {{\tilde f}_n},{\alpha _{{k_i}}}} \right\rangle \left( {{z_n} + {\rho _n}{\zeta _n}} \right) = 0 $ ,所以,

$ {\left. {{a_{{k_i},1}}{{\left( {\frac{{{f_{n1}}}}{{{f_{n0}}}}} \right)}^\prime } + {a_{{k_i},2}}{{\left( {\frac{{{f_{n2}}}}{{{f_{n0}}}}} \right)}^\prime } + {a_{{k_i},3}}{{\left( {\frac{{{f_{n3}}}}{{{f_{n0}}}}} \right)}^\prime }} \right|_{{z_n} + {\rho _n}{\zeta _n}}} = 0 $
$ {\left. {{a_{{k_i},1}}{{\left( {\frac{{{g_{n1}}}}{{{g_{n0}}}}} \right)}^\prime } + {a_{{k_i},2}}{{\left( {\frac{{{g_{n2}}}}{{{g_{n0}}}}} \right)}^\prime } + {a_{{k_i},3}}{{\left( {\frac{{{g_{n3}}}}{{{g_{n0}}}}} \right)}^\prime }} \right|_{{\zeta _n}}} = 0 $

$ n \to + \infty $ ,则

$ {\left. {{a_{{k_i},1}}{{\left( {\frac{{{g_1}}}{{{g_0}}}} \right)}^\prime } + {a_{{k_i},2}}{{\left( {\frac{{{g_2}}}{{{g_0}}}} \right)}^\prime } + {a_{{k_i},3}}{{\left( {\frac{{{g_3}}}{{{g_0}}}} \right)}^\prime }} \right|_{{\zeta _0}}} = 0 $

$ {G_{{k_i}}}^\prime \left( {{\zeta _0}} \right) = 0 $ 。所以, $ \left\langle {\tilde g,{\alpha _{{k_i}}}} \right\rangle \left( \zeta \right) $ 的零点都是重级的, $ {G_{{k_i}}}\left( \zeta \right) $ 的零点也都是重级的。

这意味着

$ {\left. {\left( {{a_{{k_i},1}} + {a_{{k_i},2}}{k_1} + {a_{{k_i},3}}{k_2}} \right){{\left( {\frac{{{g_1}}}{{{g_0}}}} \right)}^\prime }} \right|_{{\zeta _0}}} = 0 $

${\left( {\dfrac{{{g_1}}}{{{g_0}}}} \right)^\prime }\left( {{\zeta _0}} \right) = 0$ ,矛盾。因此,至少存在1个 ${m_i} \in \left\{ t + 4, \cdots , 2t \right\}$ ,有 $ {a_{{m_i},0}} = 0 $ 。不失一般性,取 $ {m_i} = 2t $

类似地,可证得 $ {a_{t + 4,0}}, \cdots ,{a_{2t + 3,0}} $ 均为零。因此, $ \left\langle {\tilde g,{\alpha _p}} \right\rangle $ 的零点 $ {\zeta _0} $ 均是重级的,且 $ {\zeta _0} $ 也是 $ {G_p}\left( \zeta \right) $ 的重级零点, $ p = t + 4,t + 5, \cdots ,2t + 3 $ 。若对所有的 $\zeta \in \mathbb{C}$ $ \left\langle {\tilde g,{\alpha _p}} \right\rangle \left( \zeta \right) \ne 0 $ $ \left\langle {\tilde g,{\alpha _p}} \right\rangle \left( \zeta \right) \equiv 0 $ $p = t + 4,t + 5, \cdots , 2t + 3$ ,则由引理4可知,有 $ \tilde g $ 是一个常映射,矛盾。因此,存在某个 ${\zeta _0} \in \mathbb{C},{\text{ }}{p_j} \in \left\{ t + 4,t + 5, \cdots , 2t + 3 \right\}$ ,使得 $ \left\langle {\tilde g,{\alpha _{{p_j}}}} \right\rangle \left( {{\zeta _0}} \right) = 0 $ ,但 $ \left\langle {\tilde g,{\alpha _{{p_j}}}} \right\rangle \left( \zeta \right)\not \equiv 0 $ ,这意味着

$ {\left. {\left( {{a_{{p_j},1}} + {a_{{p_j},2}}{k_1} + {a_{{p_j},3}}{k_2}} \right){{\left( {\frac{{{g_1}\left( \zeta \right)}}{{{g_0}\left( \zeta \right)}}} \right)}^\prime }} \right|_{{\zeta _0}}} = 0 $

矛盾。

b. $ {p_2} = 0 $ ,则 $ {p_0},{p_1} $ 不全为零。

(a) $ {p_1} \ne 0 $ ,则 $ {g_1},{g_3} $ 可由 $ {g_0},{g_2} $ 线性表出,类似于a的证明,矛盾;

(b) $ {p_0} \ne 0,{\text{ }}{p_1} = 0 $ ,而 $ {g_0} \ne 0 $ ,矛盾。

因此, $ \mathcal{F} $ $ D $ 上正规。

$ N = 3 $ $ t \geqslant 4 $ 时,所需超平面的个数会随着 $ t $ 值的增长而增加。目前,仍未能找到明确的上界。

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